Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29008 / 21037
↖ ↑ ↗
← N 76.487971°
W100.327148°		 ← 71.36 m → N 76.487971°
W100.324402°		 →
↑
71.36 m
↓
↑
71.36 m
↓
N 76.487329°
W100.327148°		 ← 71.37 m →
5 092 m²		 N 76.487329°
W100.324402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221317291259766 y=0.160503387451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221317291259766 × 217)
    floor (0.221317291259766 × 131072)
    floor (29008.5)     		tx = 29008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160503387451172 × 217)
    floor (0.160503387451172 × 131072)
    floor (21037.5)     		ty = 21037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29008 / 21037 ti = "17/29008/21037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29008/21037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29008 ÷ 217
    29008 ÷ 131072     		x = 0.2213134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21037 ÷ 217
    21037 ÷ 131072     		y = 0.160499572753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2213134765625 × 2 - 1) × π
    -0.557373046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.75103907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160499572753906 × 2 - 1) × π
    0.679000854492188 × 3.1415926535     		Φ = 2.13314409619288
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75103907} λ = -1.75103907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13314409619288))-π/2
    2×atan(8.44136559768291)-π/2
    2×1.45288162904608-π/2
    2.90576325809216-1.57079632675     		φ = 1.33496693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75103907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.327148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33496693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.487971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29008 KachelY 21037 -1.75103907 1.33496693 -100.327148 76.487971
    Oben rechts KachelX + 1 29009 KachelY 21037 -1.75099113 1.33496693 -100.324402 76.487971
    Unten links KachelX 29008 KachelY + 1 21038 -1.75103907 1.33495573 -100.327148 76.487329
    Unten rechts KachelX + 1 29009 KachelY + 1 21038 -1.75099113 1.33495573 -100.324402 76.487329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33496693-1.33495573) × R
    1.12000000001e-05 × 6371000     		dl = 71.3552000006372m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33496693-1.33495573) × R
    1.12000000001e-05 × 6371000     		dr = 71.3552000006372m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75103907--1.75099113) × cos(1.33496693) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.233649505611404 × 6371000     		do = 71.3625731519503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75103907--1.75099113) × cos(1.33495573) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.23366039559069 × 6371000     		du = 71.3658992319326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33496693)-sin(1.33495573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233649505611404-0.23366039559069)×R²
    abs(-1.75099113--1.75103907)×1.088997928686e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.088997928686e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.088997928686e-05×40589641000000     		ar = 5092.20934642966m²