Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29007 / 43387
↖ ↑ ↗
← S 50.271788°
W 20.659790°		 ← 390.38 m → S 50.271788°
W 20.654297°		 →
↑
390.35 m
↓
↑
390.35 m
↓
S 50.275298°
W 20.659790°		 ← 390.35 m →
152 381 m²		 S 50.275298°
W 20.654297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442619323730469 y=0.662040710449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442619323730469 × 216)
    floor (0.442619323730469 × 65536)
    floor (29007.5)     		tx = 29007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662040710449219 × 216)
    floor (0.662040710449219 × 65536)
    floor (43387.5)     		ty = 43387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29007 / 43387 ti = "16/29007/43387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29007/43387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29007 ÷ 216
    29007 ÷ 65536     		x = 0.442611694335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43387 ÷ 216
    43387 ÷ 65536     		y = 0.662033081054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442611694335938 × 2 - 1) × π
    -0.114776611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36058136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662033081054688 × 2 - 1) × π
    -0.324066162109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.01808387413075
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36058136} λ = -0.36058136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01808387413075))-π/2
    2×atan(0.361286547858347)-π/2
    2×0.346694054386716-π/2
    0.693388108773433-1.57079632675     		φ = -0.87740822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36058136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.659790°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87740822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.271788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29007 KachelY 43387 -0.36058136 -0.87740822 -20.659790 -50.271788
    Oben rechts KachelX + 1 29008 KachelY 43387 -0.36048549 -0.87740822 -20.654297 -50.271788
    Unten links KachelX 29007 KachelY + 1 43388 -0.36058136 -0.87746949 -20.659790 -50.275298
    Unten rechts KachelX + 1 29008 KachelY + 1 43388 -0.36048549 -0.87746949 -20.654297 -50.275298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87740822--0.87746949) × R
    6.12700000000022e-05 × 6371000     		dl = 390.351170000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87740822--0.87746949) × R
    6.12700000000022e-05 × 6371000     		dr = 390.351170000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36058136--0.36048549) × cos(-0.87740822) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.639146587599728 × 6371000     		do = 390.382918943139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36058136--0.36048549) × cos(-0.87746949) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.639099464566016 × 6371000     		du = 390.354136770462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87740822)-sin(-0.87746949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639146587599728-0.639099464566016)×R²
    abs(-0.36048549--0.36058136)×4.71230337124595e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71230337124595e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71230337124595e-05×40589641000000     		ar = 152380.811627841m²