Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29006 / 40852
↖ ↑ ↗
← S 40.530502°
W 20.665283°		 ← 464.24 m → S 40.530502°
W 20.659790°		 →
↑
464.25 m
↓
↑
464.25 m
↓
S 40.534677°
W 20.665283°		 ← 464.21 m →
215 517 m²		 S 40.534677°
W 20.659790°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442604064941406 y=0.623359680175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442604064941406 × 216)
    floor (0.442604064941406 × 65536)
    floor (29006.5)     		tx = 29006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623359680175781 × 216)
    floor (0.623359680175781 × 65536)
    floor (40852.5)     		ty = 40852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29006 / 40852 ti = "16/29006/40852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29006/40852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29006 ÷ 216
    29006 ÷ 65536     		x = 0.442596435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40852 ÷ 216
    40852 ÷ 65536     		y = 0.62335205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442596435546875 × 2 - 1) × π
    -0.11480712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36067723
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62335205078125 × 2 - 1) × π
    -0.2467041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.775043793057068
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36067723} λ = -0.36067723}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.775043793057068))-π/2
    2×atan(0.460683605813763)-π/2
    2×0.431702811669803-π/2
    0.863405623339606-1.57079632675     		φ = -0.70739070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36067723} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.665283°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70739070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.530502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29006 KachelY 40852 -0.36067723 -0.70739070 -20.665283 -40.530502
    Oben rechts KachelX + 1 29007 KachelY 40852 -0.36058136 -0.70739070 -20.659790 -40.530502
    Unten links KachelX 29006 KachelY + 1 40853 -0.36067723 -0.70746357 -20.665283 -40.534677
    Unten rechts KachelX + 1 29007 KachelY + 1 40853 -0.36058136 -0.70746357 -20.659790 -40.534677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70739070--0.70746357) × R
    7.28700000000027e-05 × 6371000     		dl = 464.254770000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70739070--0.70746357) × R
    7.28700000000027e-05 × 6371000     		dr = 464.254770000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36067723--0.36058136) × cos(-0.70739070) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.760060122287572 × 6371000     		do = 464.235427157943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36067723--0.36058136) × cos(-0.70746357) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.760012765498973 × 6371000     		du = 464.20650221064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70739070)-sin(-0.70746357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.760060122287572-0.760012765498973)×R²
    abs(-0.36058136--0.36067723)×4.73567885993509e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73567885993509e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73567885993509e-05×40589641000000     		ar = 215516.797284159m²