Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 29006 / 21038
↖ ↑ ↗
← N 76.487329°
W100.332641°		 ← 71.35 m → N 76.487329°
W100.329895°		 →
↑
71.36 m
↓
↑
71.36 m
↓
N 76.486687°
W100.332641°		 ← 71.35 m →
5 091 m²		 N 76.486687°
W100.329895°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221302032470703 y=0.160511016845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221302032470703 × 217)
    floor (0.221302032470703 × 131072)
    floor (29006.5)     		tx = 29006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160511016845703 × 217)
    floor (0.160511016845703 × 131072)
    floor (21038.5)     		ty = 21038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29006 / 21038 ti = "17/29006/21038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29006/21038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29006 ÷ 217
    29006 ÷ 131072     		x = 0.221298217773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21038 ÷ 217
    21038 ÷ 131072     		y = 0.160507202148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.221298217773438 × 2 - 1) × π
    -0.557403564453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.75113494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160507202148438 × 2 - 1) × π
    0.678985595703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.13309615929326
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75113494} λ = -1.75113494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13309615929326))-π/2
    2×atan(8.44096095448634)-π/2
    2×1.45287602869915-π/2
    2.90575205739829-1.57079632675     		φ = 1.33495573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75113494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.332641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33495573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.487329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29006 KachelY 21038 -1.75113494 1.33495573 -100.332641 76.487329
    Oben rechts KachelX + 1 29007 KachelY 21038 -1.75108701 1.33495573 -100.329895 76.487329
    Unten links KachelX 29006 KachelY + 1 21039 -1.75113494 1.33494453 -100.332641 76.486687
    Unten rechts KachelX + 1 29007 KachelY + 1 21039 -1.75108701 1.33494453 -100.329895 76.486687
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33495573-1.33494453) × R
    1.1199999999878e-05 × 6371000     		dl = 71.3551999992226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33495573-1.33494453) × R
    1.1199999999878e-05 × 6371000     		dr = 71.3551999992226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75113494--1.75108701) × cos(1.33495573) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.23366039559069 × 6371000     		do = 71.35101272822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75113494--1.75108701) × cos(1.33494453) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.233671285540667 × 6371000     		du = 71.3543381054513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33495573)-sin(1.33494453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23366039559069-0.233671285540667)×R²
    abs(-1.75108701--1.75113494)×1.0889949976306e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.0889949976306e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.0889949976306e-05×40589641000000     		ar = 5091.3844248995m²