Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29005 / 43391
↖ ↑ ↗
← S 50.285829°
W 20.670777°		 ← 390.31 m → S 50.285829°
W 20.665283°		 →
↑
390.29 m
↓
↑
390.29 m
↓
S 50.289339°
W 20.670777°		 ← 390.28 m →
152 327 m²		 S 50.289339°
W 20.665283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29005 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442588806152344 y=0.662101745605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442588806152344 × 216)
    floor (0.442588806152344 × 65536)
    floor (29005.5)     		tx = 29005
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662101745605469 × 216)
    floor (0.662101745605469 × 65536)
    floor (43391.5)     		ty = 43391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29005 / 43391 ti = "16/29005/43391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29005/43391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29005 ÷ 216
    29005 ÷ 65536     		x = 0.442581176757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43391 ÷ 216
    43391 ÷ 65536     		y = 0.662094116210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442581176757812 × 2 - 1) × π
    -0.114837646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36077311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662094116210938 × 2 - 1) × π
    -0.324188232421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.01846736932771
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36077311} λ = -0.36077311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01846736932771))-π/2
    2×atan(0.361148022766068)-π/2
    2×0.346571517635809-π/2
    0.693143035271617-1.57079632675     		φ = -0.87765329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36077311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.670777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87765329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.285829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29005 KachelY 43391 -0.36077311 -0.87765329 -20.670777 -50.285829
    Oben rechts KachelX + 1 29006 KachelY 43391 -0.36067723 -0.87765329 -20.665283 -50.285829
    Unten links KachelX 29005 KachelY + 1 43392 -0.36077311 -0.87771455 -20.670777 -50.289339
    Unten rechts KachelX + 1 29006 KachelY + 1 43392 -0.36067723 -0.87771455 -20.665283 -50.289339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87765329--0.87771455) × R
    6.12599999999519e-05 × 6371000     		dl = 390.287459999694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87765329--0.87771455) × R
    6.12599999999519e-05 × 6371000     		dr = 390.287459999694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36077311--0.36067723) × cos(-0.87765329) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.638958088762876 × 6371000     		do = 390.308494178744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36077311--0.36067723) × cos(-0.87771455) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.638910963826672 × 6371000     		du = 390.279707841719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87765329)-sin(-0.87771455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638958088762876-0.638910963826672)×R²
    abs(-0.36067723--0.36077311)×4.7124936203069e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.7124936203069e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.7124936203069e-05×40589641000000     		ar = 152326.893383594m²