Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29002 / 43378
↖ ↑ ↗
← S 50.240179°
W 20.687256°		 ← 390.68 m → S 50.240179°
W 20.681762°		 →
↑
390.61 m
↓
↑
390.61 m
↓
S 50.243692°
W 20.687256°		 ← 390.65 m →
152 597 m²		 S 50.243692°
W 20.681762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442543029785156 y=0.661903381347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442543029785156 × 216)
    floor (0.442543029785156 × 65536)
    floor (29002.5)     		tx = 29002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661903381347656 × 216)
    floor (0.661903381347656 × 65536)
    floor (43378.5)     		ty = 43378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29002 / 43378 ti = "16/29002/43378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29002/43378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29002 ÷ 216
    29002 ÷ 65536     		x = 0.442535400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43378 ÷ 216
    43378 ÷ 65536     		y = 0.661895751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442535400390625 × 2 - 1) × π
    -0.11492919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36106073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661895751953125 × 2 - 1) × π
    -0.32379150390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.01722100993759
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36106073} λ = -0.36106073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01722100993759))-π/2
    2×atan(0.361598423617827)-π/2
    2×0.346969894241425-π/2
    0.693939788482851-1.57079632675     		φ = -0.87685654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36106073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.687256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87685654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.240179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29002 KachelY 43378 -0.36106073 -0.87685654 -20.687256 -50.240179
    Oben rechts KachelX + 1 29003 KachelY 43378 -0.36096485 -0.87685654 -20.681762 -50.240179
    Unten links KachelX 29002 KachelY + 1 43379 -0.36106073 -0.87691785 -20.687256 -50.243692
    Unten rechts KachelX + 1 29003 KachelY + 1 43379 -0.36096485 -0.87691785 -20.681762 -50.243692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87685654--0.87691785) × R
    6.13099999999811e-05 × 6371000     		dl = 390.60600999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87685654--0.87691785) × R
    6.13099999999811e-05 × 6371000     		dr = 390.60600999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36106073--0.36096485) × cos(-0.87685654) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.639570779093585 × 6371000     		do = 390.682756974039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36106073--0.36096485) × cos(-0.87691785) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.63952364691946 × 6371000     		du = 390.65396621572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87685654)-sin(-0.87691785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639570779093585-0.63952364691946)×R²
    abs(-0.36096485--0.36106073)×4.71321741245534e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.71321741245534e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.71321741245534e-05×40589641000000     		ar = 152597.410003722m²