Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29002 / 20793
↖ ↑ ↗
← N 76.643668°
W100.343628°		 ← 70.56 m → N 76.643668°
W100.340881°		 →
↑
70.53 m
↓
↑
70.53 m
↓
N 76.643033°
W100.343628°		 ← 70.56 m →
4 976 m²		 N 76.643033°
W100.340881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221271514892578 y=0.158641815185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221271514892578 × 217)
    floor (0.221271514892578 × 131072)
    floor (29002.5)     		tx = 29002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158641815185547 × 217)
    floor (0.158641815185547 × 131072)
    floor (20793.5)     		ty = 20793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29002 / 20793 ti = "17/29002/20793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29002/20793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29002 ÷ 217
    29002 ÷ 131072     		x = 0.221267700195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20793 ÷ 217
    20793 ÷ 131072     		y = 0.158638000488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.221267700195312 × 2 - 1) × π
    -0.557464599609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.75132669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158638000488281 × 2 - 1) × π
    0.682723999023438 × 3.1415926535     		Φ = 2.14484069970017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75132669} λ = -1.75132669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14484069970017))-π/2
    2×atan(8.54068059594202)-π/2
    2×1.45424033931545-π/2
    2.90848067863089-1.57079632675     		φ = 1.33768435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75132669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.343628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33768435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.643668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29002 KachelY 20793 -1.75132669 1.33768435 -100.343628 76.643668
    Oben rechts KachelX + 1 29003 KachelY 20793 -1.75127875 1.33768435 -100.340881 76.643668
    Unten links KachelX 29002 KachelY + 1 20794 -1.75132669 1.33767328 -100.343628 76.643033
    Unten rechts KachelX + 1 29003 KachelY + 1 20794 -1.75127875 1.33767328 -100.340881 76.643033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33768435-1.33767328) × R
    1.10700000000019e-05 × 6371000     		dl = 70.5269700000122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33768435-1.33767328) × R
    1.10700000000019e-05 × 6371000     		dr = 70.5269700000122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75132669--1.75127875) × cos(1.33768435) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.231006441959928 × 6371000     		do = 70.5553134803317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75132669--1.75127875) × cos(1.33767328) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.231017212526856 × 6371000     		du = 70.5586030887061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33768435)-sin(1.33767328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231006441959928-0.231017212526856)×R²
    abs(-1.75127875--1.75132669)×1.07705669286362e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.07705669286362e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.07705669286362e-05×40589641000000     		ar = 4976.16848020489m²