Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29001 / 43377
↖ ↑ ↗
← S 50.236666°
W 20.692749°		 ← 390.67 m → S 50.236666°
W 20.687256°		 →
↑
390.67 m
↓
↑
390.67 m
↓
S 50.240179°
W 20.692749°		 ← 390.64 m →
152 618 m²		 S 50.240179°
W 20.687256°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442527770996094 y=0.661888122558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442527770996094 × 216)
    floor (0.442527770996094 × 65536)
    floor (29001.5)     		tx = 29001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661888122558594 × 216)
    floor (0.661888122558594 × 65536)
    floor (43377.5)     		ty = 43377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29001 / 43377 ti = "16/29001/43377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29001/43377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29001 ÷ 216
    29001 ÷ 65536     		x = 0.442520141601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43377 ÷ 216
    43377 ÷ 65536     		y = 0.661880493164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442520141601562 × 2 - 1) × π
    -0.114959716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36115660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661880493164062 × 2 - 1) × π
    -0.323760986328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.01712513613835
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36115660} λ = -0.36115660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01712513613835))-π/2
    2×atan(0.361633093094419)-π/2
    2×0.347000554411539-π/2
    0.694001108823077-1.57079632675     		φ = -0.87679522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36115660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.692749°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87679522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.236666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29001 KachelY 43377 -0.36115660 -0.87679522 -20.692749 -50.236666
    Oben rechts KachelX + 1 29002 KachelY 43377 -0.36106073 -0.87679522 -20.687256 -50.236666
    Unten links KachelX 29001 KachelY + 1 43378 -0.36115660 -0.87685654 -20.692749 -50.240179
    Unten rechts KachelX + 1 29002 KachelY + 1 43378 -0.36106073 -0.87685654 -20.687256 -50.240179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87679522--0.87685654) × R
    6.13200000000313e-05 × 6371000     		dl = 390.6697200002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87679522--0.87685654) × R
    6.13200000000313e-05 × 6371000     		dr = 390.6697200002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36115660--0.36106073) × cos(-0.87679522) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.639617916550547 × 6371000     		do = 390.670800901946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36115660--0.36106073) × cos(-0.87685654) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.639570779093585 × 6371000     		du = 390.642009919725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87679522)-sin(-0.87685654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639617916550547-0.639570779093585)×R²
    abs(-0.36106073--0.36115660)×4.71374569617211e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71374569617211e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71374569617211e-05×40589641000000     		ar = 152617.628566021m²