Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29001 / 43173
↖ ↑ ↗
← S 49.514510°
W 20.692749°		 ← 396.56 m → S 49.514510°
W 20.687256°		 →
↑
396.53 m
↓
↑
396.53 m
↓
S 49.518076°
W 20.692749°		 ← 396.53 m →
157 242 m²		 S 49.518076°
W 20.687256°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442527770996094 y=0.658775329589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442527770996094 × 216)
    floor (0.442527770996094 × 65536)
    floor (29001.5)     		tx = 29001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658775329589844 × 216)
    floor (0.658775329589844 × 65536)
    floor (43173.5)     		ty = 43173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29001 / 43173 ti = "16/29001/43173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29001/43173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29001 ÷ 216
    29001 ÷ 65536     		x = 0.442520141601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43173 ÷ 216
    43173 ÷ 65536     		y = 0.658767700195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442520141601562 × 2 - 1) × π
    -0.114959716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36115660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658767700195312 × 2 - 1) × π
    -0.317535400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.997566881093369
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36115660} λ = -0.36115660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.997566881093369))-π/2
    2×atan(0.368775625414408)-π/2
    2×0.353302548923238-π/2
    0.706605097846476-1.57079632675     		φ = -0.86419123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36115660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.692749°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86419123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.514510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29001 KachelY 43173 -0.36115660 -0.86419123 -20.692749 -49.514510
    Oben rechts KachelX + 1 29002 KachelY 43173 -0.36106073 -0.86419123 -20.687256 -49.514510
    Unten links KachelX 29001 KachelY + 1 43174 -0.36115660 -0.86425347 -20.692749 -49.518076
    Unten rechts KachelX + 1 29002 KachelY + 1 43174 -0.36106073 -0.86425347 -20.687256 -49.518076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86419123--0.86425347) × R
    6.22399999999912e-05 × 6371000     		dl = 396.531039999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86419123--0.86425347) × R
    6.22399999999912e-05 × 6371000     		dr = 396.531039999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36115660--0.36106073) × cos(-0.86419123) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.649255454495213 × 6371000     		do = 396.557291211459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36115660--0.36106073) × cos(-0.86425347) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.649208115335121 × 6371000     		du = 396.528377031433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86419123)-sin(-0.86425347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649255454495213-0.649208115335121)×R²
    abs(-0.36106073--0.36115660)×4.73391600916973e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73391600916973e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73391600916973e-05×40589641000000     		ar = 157241.542469779m²