Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 290 / 798
↖ ↑ ↗
← S 70.377854°
W 78.046875°		 ← 13.128 km → S 70.377854°
W 77.695313°		 →
↑
13.090 km
↓
↑
13.090 km
↓
S 70.495574°
W 78.046875°		 ← 13.052 km →
171.344 km²		 S 70.495574°
W 77.695313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.28369140625 y=0.77978515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.28369140625 × 210)
    floor (0.28369140625 × 1024)
    floor (290.5)     		tx = 290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77978515625 × 210)
    floor (0.77978515625 × 1024)
    floor (798.5)     		ty = 798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 290 / 798 ti = "10/290/798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/290/798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 290 ÷ 210
    290 ÷ 1024     		x = 0.283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 798 ÷ 210
    798 ÷ 1024     		y = 0.779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.283203125 × 2 - 1) × π
    -0.43359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.36217494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779296875 × 2 - 1) × π
    -0.55859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75487402129102
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36217494} λ = -1.36217494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75487402129102))-π/2
    2×atan(0.172929026295006)-π/2
    2×0.171235527526007-π/2
    0.342471055052013-1.57079632675     		φ = -1.22832527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36217494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.046875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22832527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.377854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 290 KachelY 798 -1.36217494 -1.22832527 -78.046875 -70.377854
    Oben rechts KachelX + 1 291 KachelY 798 -1.35603902 -1.22832527 -77.695313 -70.377854
    Unten links KachelX 290 KachelY + 1 799 -1.36217494 -1.23037987 -78.046875 -70.495574
    Unten rechts KachelX + 1 291 KachelY + 1 799 -1.35603902 -1.23037987 -77.695313 -70.495574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22832527--1.23037987) × R
    0.00205459999999991 × 6371000     		dl = 13089.8565999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22832527--1.23037987) × R
    0.00205459999999991 × 6371000     		dr = 13089.8565999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36217494--1.35603902) × cos(-1.22832527) × R
    0.00613591999999996 × 0.335815671936321 × 6371000     		do = 13127.6882207493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36217494--1.35603902) × cos(-1.23037987) × R
    0.00613591999999996 × 0.333879679796468 × 6371000     		du = 13052.0065199422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22832527)-sin(-1.23037987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335815671936321-0.333879679796468)×R²
    abs(-1.35603902--1.36217494)×0.00193599213985307×R²
    0.00613591999999996×0.00193599213985307×6371000²
    0.00613591999999996×0.00193599213985307×40589641000000     		ar = 171344285.269506m²