Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 290 / 302
↖ ↑ ↗
← S 30.751278°
E 23.906250°		 ← 67.191 km → S 30.751278°
E 24.609375°		 →
↑
66.979 km
↓
↑
66.979 km
↓
S 31.353637°
E 23.906250°		 ← 66.767 km →
4 486.24 km²		 S 31.353637°
E 24.609375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5673828125 y=0.5908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5673828125 × 29)
    floor (0.5673828125 × 512)
    floor (290.5)     		tx = 290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5908203125 × 29)
    floor (0.5908203125 × 512)
    floor (302.5)     		ty = 302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 290 / 302 ti = "9/290/302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/290/302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 290 ÷ 29
    290 ÷ 512     		x = 0.56640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 302 ÷ 29
    302 ÷ 512     		y = 0.58984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56640625 × 2 - 1) × π
    0.1328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41724277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58984375 × 2 - 1) × π
    -0.1796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.564504929925781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41724277} λ = 0.41724277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.564504929925781))-π/2
    2×atan(0.568641594520013)-π/2
    2×0.517042640208852-π/2
    1.0340852804177-1.57079632675     		φ = -0.53671105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41724277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53671105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.751278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 290 KachelY 302 0.41724277 -0.53671105 23.906250 -30.751278
    Oben rechts KachelX + 1 291 KachelY 302 0.42951462 -0.53671105 24.609375 -30.751278
    Unten links KachelX 290 KachelY + 1 303 0.41724277 -0.54722420 23.906250 -31.353637
    Unten rechts KachelX + 1 291 KachelY + 1 303 0.42951462 -0.54722420 24.609375 -31.353637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53671105--0.54722420) × R
    0.0105131500000001 × 6371000     		dl = 66979.2786500005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53671105--0.54722420) × R
    0.0105131500000001 × 6371000     		dr = 66979.2786500005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41724277-0.42951462) × cos(-0.53671105) × R
    0.01227185 × 0.859395006889381 × 6371000     		do = 67190.9017060475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41724277-0.42951462) × cos(-0.54722420) × R
    0.01227185 × 0.853972111029799 × 6371000     		du = 66766.9182528713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53671105)-sin(-0.54722420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859395006889381-0.853972111029799)×R²
    abs(0.42951462-0.41724277)×0.00542289585958255×R²
    0.01227185×0.00542289585958255×6371000²
    0.01227185×0.00542289585958255×40589641000000     		ar = 4486240395.90156m²