Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 290 / 237
↖ ↑ ↗
← N 13.239945°
E 23.906250°		 ← 76.106 km → N 13.239945°
E 24.609375°		 →
↑
76.211 km
↓
↑
76.211 km
↓
N 12.554564°
E 23.906250°		 ← 76.315 km →
5 808.12 km²		 N 12.554564°
E 24.609375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5673828125 y=0.4638671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5673828125 × 29)
    floor (0.5673828125 × 512)
    floor (290.5)     		tx = 290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4638671875 × 29)
    floor (0.4638671875 × 512)
    floor (237.5)     		ty = 237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 290 / 237 ti = "9/290/237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/290/237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 290 ÷ 29
    290 ÷ 512     		x = 0.56640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 237 ÷ 29
    237 ÷ 512     		y = 0.462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56640625 × 2 - 1) × π
    0.1328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41724277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462890625 × 2 - 1) × π
    0.07421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.233165079751953
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41724277} λ = 0.41724277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.233165079751953))-π/2
    2×atan(1.26258989015047)-π/2
    2×0.90093848426778-π/2
    1.80187696853556-1.57079632675     		φ = 0.23108064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41724277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23108064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.239945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 290 KachelY 237 0.41724277 0.23108064 23.906250 13.239945
    Oben rechts KachelX + 1 291 KachelY 237 0.42951462 0.23108064 24.609375 13.239945
    Unten links KachelX 290 KachelY + 1 238 0.41724277 0.21911847 23.906250 12.554564
    Unten rechts KachelX + 1 291 KachelY + 1 238 0.42951462 0.21911847 24.609375 12.554564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23108064-0.21911847) × R
    0.01196217 × 6371000     		dl = 76210.98507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23108064-0.21911847) × R
    0.01196217 × 6371000     		dr = 76210.98507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41724277-0.42951462) × cos(0.23108064) × R
    0.01227185 × 0.973419464906907 × 6371000     		do = 76105.7849545222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41724277-0.42951462) × cos(0.21911847) × R
    0.01227185 × 0.976089446082766 × 6371000     		du = 76314.5346462308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23108064)-sin(0.21911847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.973419464906907-0.976089446082766)×R²
    abs(0.42951462-0.41724277)×0.00266998117585848×R²
    0.01227185×0.00266998117585848×6371000²
    0.01227185×0.00266998117585848×40589641000000     		ar = 5808120609.59155m²