Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28999 / 43367
↖ ↑ ↗
← S 50.201518°
W 20.703735°		 ← 390.96 m → S 50.201518°
W 20.698242°		 →
↑
390.92 m
↓
↑
390.92 m
↓
S 50.205033°
W 20.703735°		 ← 390.93 m →
152 830 m²		 S 50.205033°
W 20.698242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442497253417969 y=0.661735534667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442497253417969 × 216)
    floor (0.442497253417969 × 65536)
    floor (28999.5)     		tx = 28999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661735534667969 × 216)
    floor (0.661735534667969 × 65536)
    floor (43367.5)     		ty = 43367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28999 / 43367 ti = "16/28999/43367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28999/43367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28999 ÷ 216
    28999 ÷ 65536     		x = 0.442489624023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43367 ÷ 216
    43367 ÷ 65536     		y = 0.661727905273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442489624023438 × 2 - 1) × π
    -0.115020751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36134835
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661727905273438 × 2 - 1) × π
    -0.323455810546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.01616639814595
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36134835} λ = -0.36134835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01616639814595))-π/2
    2×atan(0.361979970735895)-π/2
    2×0.347307280402505-π/2
    0.694614560805011-1.57079632675     		φ = -0.87618177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36134835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.703735°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87618177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.201518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28999 KachelY 43367 -0.36134835 -0.87618177 -20.703735 -50.201518
    Oben rechts KachelX + 1 29000 KachelY 43367 -0.36125248 -0.87618177 -20.698242 -50.201518
    Unten links KachelX 28999 KachelY + 1 43368 -0.36134835 -0.87624313 -20.703735 -50.205033
    Unten rechts KachelX + 1 29000 KachelY + 1 43368 -0.36125248 -0.87624313 -20.698242 -50.205033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87618177--0.87624313) × R
    6.13600000000103e-05 × 6371000     		dl = 390.924560000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87618177--0.87624313) × R
    6.13600000000103e-05 × 6371000     		dr = 390.924560000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36134835--0.36125248) × cos(-0.87618177) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.640089350888067 × 6371000     		do = 390.958747229662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36134835--0.36125248) × cos(-0.87624313) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.640042206765847 × 6371000     		du = 390.929952176382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87618177)-sin(-0.87624313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640089350888067-0.640042206765847)×R²
    abs(-0.36125248--0.36134835)×4.71441222200664e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71441222200664e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71441222200664e-05×40589641000000     		ar = 152829.747939952m²