Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28999 / 20801
↖ ↑ ↗
← N 76.638591°
W100.351868°		 ← 70.58 m → N 76.638591°
W100.349121°		 →
↑
70.59 m
↓
↑
70.59 m
↓
N 76.637956°
W100.351868°		 ← 70.58 m →
4 983 m²		 N 76.637956°
W100.349121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221248626708984 y=0.158702850341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221248626708984 × 217)
    floor (0.221248626708984 × 131072)
    floor (28999.5)     		tx = 28999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158702850341797 × 217)
    floor (0.158702850341797 × 131072)
    floor (20801.5)     		ty = 20801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28999 / 20801 ti = "17/28999/20801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28999/20801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28999 ÷ 217
    28999 ÷ 131072     		x = 0.221244812011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20801 ÷ 217
    20801 ÷ 131072     		y = 0.158699035644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.221244812011719 × 2 - 1) × π
    -0.557510375976562 × 3.1415926535     		Λ = -1.75147050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158699035644531 × 2 - 1) × π
    0.682601928710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.14445720450321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75147050} λ = -1.75147050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14445720450321))-π/2
    2×atan(8.53740591390725)-π/2
    2×1.45419603612062-π/2
    2.90839207224125-1.57079632675     		φ = 1.33759575
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75147050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.351868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33759575 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.638591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28999 KachelY 20801 -1.75147050 1.33759575 -100.351868 76.638591
    Oben rechts KachelX + 1 29000 KachelY 20801 -1.75142256 1.33759575 -100.349121 76.638591
    Unten links KachelX 28999 KachelY + 1 20802 -1.75147050 1.33758467 -100.351868 76.637956
    Unten rechts KachelX + 1 29000 KachelY + 1 20802 -1.75142256 1.33758467 -100.349121 76.637956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33759575-1.33758467) × R
    1.10799999999411e-05 × 6371000     		dl = 70.590679999625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33759575-1.33758467) × R
    1.10799999999411e-05 × 6371000     		dr = 70.590679999625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75147050--1.75142256) × cos(1.33759575) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.231092644619874 × 6371000     		do = 70.5816419915356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75147050--1.75142256) × cos(1.33758467) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.231103424689475 × 6371000     		du = 70.5849345022709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33759575)-sin(1.33758467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231092644619874-0.231103424689475)×R²
    abs(-1.75142256--1.75147050)×1.07800696013682e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.07800696013682e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.07800696013682e-05×40589641000000     		ar = 4982.52231413793m²