Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28998 / 43382
↖ ↑ ↗
← S 50.254230°
W 20.709228°		 ← 390.53 m → S 50.254230°
W 20.703735°		 →
↑
390.54 m
↓
↑
390.54 m
↓
S 50.257742°
W 20.709228°		 ← 390.50 m →
152 512 m²		 S 50.257742°
W 20.703735°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442481994628906 y=0.661964416503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442481994628906 × 216)
    floor (0.442481994628906 × 65536)
    floor (28998.5)     		tx = 28998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661964416503906 × 216)
    floor (0.661964416503906 × 65536)
    floor (43382.5)     		ty = 43382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28998 / 43382 ti = "16/28998/43382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28998/43382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28998 ÷ 216
    28998 ÷ 65536     		x = 0.442474365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43382 ÷ 216
    43382 ÷ 65536     		y = 0.661956787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442474365234375 × 2 - 1) × π
    -0.11505126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36144422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661956787109375 × 2 - 1) × π
    -0.32391357421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.01760450513455
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36144422} λ = -0.36144422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01760450513455))-π/2
    2×atan(0.361459778945623)-π/2
    2×0.346847276156564-π/2
    0.693694552313128-1.57079632675     		φ = -0.87710177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36144422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.709228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87710177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.254230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28998 KachelY 43382 -0.36144422 -0.87710177 -20.709228 -50.254230
    Oben rechts KachelX + 1 28999 KachelY 43382 -0.36134835 -0.87710177 -20.703735 -50.254230
    Unten links KachelX 28998 KachelY + 1 43383 -0.36144422 -0.87716307 -20.709228 -50.257742
    Unten rechts KachelX + 1 28999 KachelY + 1 43383 -0.36134835 -0.87716307 -20.703735 -50.257742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87710177--0.87716307) × R
    6.13000000000419e-05 × 6371000     		dl = 390.542300000267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87710177--0.87716307) × R
    6.13000000000419e-05 × 6371000     		dr = 390.542300000267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36144422--0.36134835) × cos(-0.87710177) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.639382243663191 × 6371000     		do = 390.526854784629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36144422--0.36134835) × cos(-0.87716307) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.639335109564141 × 6371000     		du = 390.498065853379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87710177)-sin(-0.87716307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639382243663191-0.639335109564141)×R²
    abs(-0.36134835--0.36144422)×4.71340990502167e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71340990502167e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71340990502167e-05×40589641000000     		ar = 152511.634479352m²