Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28998 / 43366
↖ ↑ ↗
← S 50.198001°
W 20.709228°		 ← 390.99 m → S 50.198001°
W 20.703735°		 →
↑
390.99 m
↓
↑
390.99 m
↓
S 50.201518°
W 20.709228°		 ← 390.96 m →
152 866 m²		 S 50.201518°
W 20.703735°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442481994628906 y=0.661720275878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442481994628906 × 216)
    floor (0.442481994628906 × 65536)
    floor (28998.5)     		tx = 28998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661720275878906 × 216)
    floor (0.661720275878906 × 65536)
    floor (43366.5)     		ty = 43366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28998 / 43366 ti = "16/28998/43366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28998/43366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28998 ÷ 216
    28998 ÷ 65536     		x = 0.442474365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43366 ÷ 216
    43366 ÷ 65536     		y = 0.661712646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442474365234375 × 2 - 1) × π
    -0.11505126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36144422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661712646484375 × 2 - 1) × π
    -0.32342529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.01607052434671
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36144422} λ = -0.36144422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01607052434671))-π/2
    2×atan(0.362014676794613)-π/2
    2×0.347337965431709-π/2
    0.694675930863419-1.57079632675     		φ = -0.87612040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36144422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.709228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87612040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.198001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28998 KachelY 43366 -0.36144422 -0.87612040 -20.709228 -50.198001
    Oben rechts KachelX + 1 28999 KachelY 43366 -0.36134835 -0.87612040 -20.703735 -50.198001
    Unten links KachelX 28998 KachelY + 1 43367 -0.36144422 -0.87618177 -20.709228 -50.201518
    Unten rechts KachelX + 1 28999 KachelY + 1 43367 -0.36134835 -0.87618177 -20.703735 -50.201518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87612040--0.87618177) × R
    6.13699999999495e-05 × 6371000     		dl = 390.988269999678m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87612040--0.87618177) × R
    6.13699999999495e-05 × 6371000     		dr = 390.988269999678m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36144422--0.36134835) × cos(-0.87612040) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.640136500282931 × 6371000     		do = 390.987545503407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36144422--0.36134835) × cos(-0.87618177) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.640089350888067 × 6371000     		du = 390.958747229662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87612040)-sin(-0.87618177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640136500282931-0.640089350888067)×R²
    abs(-0.36134835--0.36144422)×4.71493948638324e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71493948638324e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71493948638324e-05×40589641000000     		ar = 152865.914162334m²