Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28997 / 43375
↖ ↑ ↗
← S 50.229638°
W 20.714722°		 ← 390.77 m → S 50.229638°
W 20.709228°		 →
↑
390.73 m
↓
↑
390.73 m
↓
S 50.233152°
W 20.714722°		 ← 390.74 m →
152 681 m²		 S 50.233152°
W 20.709228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442466735839844 y=0.661857604980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442466735839844 × 216)
    floor (0.442466735839844 × 65536)
    floor (28997.5)     		tx = 28997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661857604980469 × 216)
    floor (0.661857604980469 × 65536)
    floor (43375.5)     		ty = 43375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28997 / 43375 ti = "16/28997/43375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28997/43375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28997 ÷ 216
    28997 ÷ 65536     		x = 0.442459106445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43375 ÷ 216
    43375 ÷ 65536     		y = 0.661849975585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442459106445312 × 2 - 1) × π
    -0.115081787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36154010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661849975585938 × 2 - 1) × π
    -0.323699951171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.01693338853987
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36154010} λ = -0.36154010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01693338853987))-π/2
    2×atan(0.361702442020084)-π/2
    2×0.347061881530802-π/2
    0.694123763061603-1.57079632675     		φ = -0.87667256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36154010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.714722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87667256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.229638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28997 KachelY 43375 -0.36154010 -0.87667256 -20.714722 -50.229638
    Oben rechts KachelX + 1 28998 KachelY 43375 -0.36144422 -0.87667256 -20.709228 -50.229638
    Unten links KachelX 28997 KachelY + 1 43376 -0.36154010 -0.87673389 -20.714722 -50.233152
    Unten rechts KachelX + 1 28998 KachelY + 1 43376 -0.36144422 -0.87673389 -20.709228 -50.233152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87667256--0.87673389) × R
    6.13299999999706e-05 × 6371000     		dl = 390.733429999813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87667256--0.87673389) × R
    6.13299999999706e-05 × 6371000     		dr = 390.733429999813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36154010--0.36144422) × cos(-0.87667256) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.63971219962142 × 6371000     		do = 390.76914391277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36154010--0.36144422) × cos(-0.87673389) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.639665059288992 × 6371000     		du = 390.740348170938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87667256)-sin(-0.87673389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63971219962142-0.639665059288992)×R²
    abs(-0.36144422--0.36154010)×4.71403324285857e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.71403324285857e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.71403324285857e-05×40589641000000     		ar = 152680.942257434m²