Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28996 / 43125
↖ ↑ ↗
← S 49.343020°
W 20.720215°		 ← 397.95 m → S 49.343020°
W 20.714722°		 →
↑
397.93 m
↓
↑
397.93 m
↓
S 49.346599°
W 20.720215°		 ← 397.92 m →
158 350 m²		 S 49.346599°
W 20.714722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442451477050781 y=0.658042907714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442451477050781 × 216)
    floor (0.442451477050781 × 65536)
    floor (28996.5)     		tx = 28996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658042907714844 × 216)
    floor (0.658042907714844 × 65536)
    floor (43125.5)     		ty = 43125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28996 / 43125 ti = "16/28996/43125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28996/43125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28996 ÷ 216
    28996 ÷ 65536     		x = 0.44244384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43125 ÷ 216
    43125 ÷ 65536     		y = 0.658035278320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44244384765625 × 2 - 1) × π
    -0.1151123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36163597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658035278320312 × 2 - 1) × π
    -0.316070556640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.992964938729843
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36163597} λ = -0.36163597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.992964938729843))-π/2
    2×atan(0.370476620526417)-π/2
    2×0.354799082268176-π/2
    0.709598164536351-1.57079632675     		φ = -0.86119816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36163597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.720215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86119816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.343020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28996 KachelY 43125 -0.36163597 -0.86119816 -20.720215 -49.343020
    Oben rechts KachelX + 1 28997 KachelY 43125 -0.36154010 -0.86119816 -20.714722 -49.343020
    Unten links KachelX 28996 KachelY + 1 43126 -0.36163597 -0.86126062 -20.720215 -49.346599
    Unten rechts KachelX + 1 28997 KachelY + 1 43126 -0.36154010 -0.86126062 -20.714722 -49.346599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86119816--0.86126062) × R
    6.24599999999864e-05 × 6371000     		dl = 397.932659999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86119816--0.86126062) × R
    6.24599999999864e-05 × 6371000     		dr = 397.932659999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36163597--0.36154010) × cos(-0.86119816) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.651528983420706 × 6371000     		do = 397.945934873891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36163597--0.36154010) × cos(-0.86126062) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.651481598510847 × 6371000     		du = 397.916992750467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86119816)-sin(-0.86126062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651528983420706-0.651481598510847)×R²
    abs(-0.36154010--0.36163597)×4.73849098593382e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73849098593382e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73849098593382e-05×40589641000000     		ar = 158349.925943854m²