Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28995 / 43403
↖ ↑ ↗
← S 50.327930°
W 20.725708°		 ← 389.92 m → S 50.327930°
W 20.720215°		 →
↑
389.91 m
↓
↑
389.91 m
↓
S 50.331436°
W 20.725708°		 ← 389.89 m →
152 027 m²		 S 50.331436°
W 20.720215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442436218261719 y=0.662284851074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442436218261719 × 216)
    floor (0.442436218261719 × 65536)
    floor (28995.5)     		tx = 28995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662284851074219 × 216)
    floor (0.662284851074219 × 65536)
    floor (43403.5)     		ty = 43403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28995 / 43403 ti = "16/28995/43403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28995/43403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28995 ÷ 216
    28995 ÷ 65536     		x = 0.442428588867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43403 ÷ 216
    43403 ÷ 65536     		y = 0.662277221679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442428588867188 × 2 - 1) × π
    -0.115142822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36173184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662277221679688 × 2 - 1) × π
    -0.324554443359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.01961785491859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36173184} λ = -0.36173184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01961785491859))-π/2
    2×atan(0.360732766088916)-π/2
    2×0.34620412422822-π/2
    0.69240824845644-1.57079632675     		φ = -0.87838808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36173184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.725708°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87838808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.327930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28995 KachelY 43403 -0.36173184 -0.87838808 -20.725708 -50.327930
    Oben rechts KachelX + 1 28996 KachelY 43403 -0.36163597 -0.87838808 -20.720215 -50.327930
    Unten links KachelX 28995 KachelY + 1 43404 -0.36173184 -0.87844928 -20.725708 -50.331436
    Unten rechts KachelX + 1 28996 KachelY + 1 43404 -0.36163597 -0.87844928 -20.720215 -50.331436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87838808--0.87844928) × R
    6.11999999999835e-05 × 6371000     		dl = 389.905199999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87838808--0.87844928) × R
    6.11999999999835e-05 × 6371000     		dr = 389.905199999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36173184--0.36163597) × cos(-0.87838808) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.638392685323953 × 6371000     		do = 389.922444653546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36173184--0.36163597) × cos(-0.87844928) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.638345577824959 × 6371000     		du = 389.893671969286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87838808)-sin(-0.87844928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638392685323953-0.638345577824959)×R²
    abs(-0.36163597--0.36173184)×4.71074989932818e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.71074989932818e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.71074989932818e-05×40589641000000     		ar = 152027.179504863m²