Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28995 / 43389
↖ ↑ ↗
← S 50.278809°
W 20.725708°		 ← 390.33 m → S 50.278809°
W 20.720215°		 →
↑
390.35 m
↓
↑
390.35 m
↓
S 50.282319°
W 20.725708°		 ← 390.30 m →
152 358 m²		 S 50.282319°
W 20.720215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442436218261719 y=0.662071228027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442436218261719 × 216)
    floor (0.442436218261719 × 65536)
    floor (28995.5)     		tx = 28995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662071228027344 × 216)
    floor (0.662071228027344 × 65536)
    floor (43389.5)     		ty = 43389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28995 / 43389 ti = "16/28995/43389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28995/43389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28995 ÷ 216
    28995 ÷ 65536     		x = 0.442428588867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43389 ÷ 216
    43389 ÷ 65536     		y = 0.662063598632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442428588867188 × 2 - 1) × π
    -0.115142822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36173184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662063598632812 × 2 - 1) × π
    -0.324127197265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.01827562172923
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36173184} λ = -0.36173184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01827562172923))-π/2
    2×atan(0.361217278671744)-π/2
    2×0.346632781493173-π/2
    0.693265562986346-1.57079632675     		φ = -0.87753076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36173184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.725708°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87753076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.278809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28995 KachelY 43389 -0.36173184 -0.87753076 -20.725708 -50.278809
    Oben rechts KachelX + 1 28996 KachelY 43389 -0.36163597 -0.87753076 -20.720215 -50.278809
    Unten links KachelX 28995 KachelY + 1 43390 -0.36173184 -0.87759203 -20.725708 -50.282319
    Unten rechts KachelX + 1 28996 KachelY + 1 43390 -0.36163597 -0.87759203 -20.720215 -50.282319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87753076--0.87759203) × R
    6.12700000000022e-05 × 6371000     		dl = 390.351170000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87753076--0.87759203) × R
    6.12700000000022e-05 × 6371000     		dr = 390.351170000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36173184--0.36163597) × cos(-0.87753076) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.639052339133115 × 6371000     		do = 390.325353132617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36173184--0.36163597) × cos(-0.87759203) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.639005211301205 × 6371000     		du = 390.296568029259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87753076)-sin(-0.87759203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639052339133115-0.639005211301205)×R²
    abs(-0.36163597--0.36173184)×4.71278319107427e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.71278319107427e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.71278319107427e-05×40589641000000     		ar = 152358.340174259m²