Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 28995 / 29507
↖ ↑ ↗
← N 69.836782°
W100.362854°		 ← 105.28 m → N 69.836782°
W100.360107°		 →
↑
105.25 m
↓
↑
105.25 m
↓
N 69.835835°
W100.362854°		 ← 105.28 m →
11 081 m²		 N 69.835835°
W100.360107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221218109130859 y=0.225124359130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221218109130859 × 217)
    floor (0.221218109130859 × 131072)
    floor (28995.5)     		tx = 28995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225124359130859 × 217)
    floor (0.225124359130859 × 131072)
    floor (29507.5)     		ty = 29507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28995 / 29507 ti = "17/28995/29507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28995/29507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28995 ÷ 217
    28995 ÷ 131072     		x = 0.221214294433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29507 ÷ 217
    29507 ÷ 131072     		y = 0.225120544433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.221214294433594 × 2 - 1) × π
    -0.557571411132812 × 3.1415926535     		Λ = -1.75166225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225120544433594 × 2 - 1) × π
    0.549758911132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.727118556411
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75166225} λ = -1.75166225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.727118556411))-π/2
    2×atan(5.62442407628832)-π/2
    2×1.3948390552073-π/2
    2.7896781104146-1.57079632675     		φ = 1.21888178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75166225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.362854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21888178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.836782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28995 KachelY 29507 -1.75166225 1.21888178 -100.362854 69.836782
    Oben rechts KachelX + 1 28996 KachelY 29507 -1.75161431 1.21888178 -100.360107 69.836782
    Unten links KachelX 28995 KachelY + 1 29508 -1.75166225 1.21886526 -100.362854 69.835835
    Unten rechts KachelX + 1 28996 KachelY + 1 29508 -1.75161431 1.21886526 -100.360107 69.835835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21888178-1.21886526) × R
    1.65199999999643e-05 × 6371000     		dl = 105.248919999773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21888178-1.21886526) × R
    1.65199999999643e-05 × 6371000     		dr = 105.248919999773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75166225--1.75161431) × cos(1.21888178) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.34469565092938 × 6371000     		do = 105.278924260306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75166225--1.75161431) × cos(1.21886526) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.344711158445847 × 6371000     		du = 105.283660654999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21888178)-sin(1.21886526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34469565092938-0.344711158445847)×R²
    abs(-1.75161431--1.75166225)×1.55075164661178e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.55075164661178e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.55075164661178e-05×40589641000000     		ar = 11080.7423274058m²