Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28994 / 42728
↖ ↑ ↗
← S 47.901613°
W 20.731201°		 ← 409.52 m → S 47.901613°
W 20.725708°		 →
↑
409.53 m
↓
↑
409.53 m
↓
S 47.905296°
W 20.731201°		 ← 409.49 m →
167 703 m²		 S 47.905296°
W 20.725708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442420959472656 y=0.651985168457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442420959472656 × 216)
    floor (0.442420959472656 × 65536)
    floor (28994.5)     		tx = 28994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651985168457031 × 216)
    floor (0.651985168457031 × 65536)
    floor (42728.5)     		ty = 42728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28994 / 42728 ti = "16/28994/42728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28994/42728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28994 ÷ 216
    28994 ÷ 65536     		x = 0.442413330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42728 ÷ 216
    42728 ÷ 65536     		y = 0.6519775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442413330078125 × 2 - 1) × π
    -0.11517333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36182772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6519775390625 × 2 - 1) × π
    -0.303955078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.954903040431519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36182772} λ = -0.36182772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.954903040431519))-π/2
    2×atan(0.384849457581359)-π/2
    2×0.36737772674875-π/2
    0.734755453497501-1.57079632675     		φ = -0.83604087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36182772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.731201°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83604087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.901613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28994 KachelY 42728 -0.36182772 -0.83604087 -20.731201 -47.901613
    Oben rechts KachelX + 1 28995 KachelY 42728 -0.36173184 -0.83604087 -20.725708 -47.901613
    Unten links KachelX 28994 KachelY + 1 42729 -0.36182772 -0.83610515 -20.731201 -47.905296
    Unten rechts KachelX + 1 28995 KachelY + 1 42729 -0.36173184 -0.83610515 -20.725708 -47.905296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83604087--0.83610515) × R
    6.42799999999166e-05 × 6371000     		dl = 409.527879999469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83604087--0.83610515) × R
    6.42799999999166e-05 × 6371000     		dr = 409.527879999469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36182772--0.36173184) × cos(-0.83604087) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.670405725918612 × 6371000     		do = 409.518329877827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36182772--0.36173184) × cos(-0.83610515) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.670358029113093 × 6371000     		du = 409.489194213584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83604087)-sin(-0.83610515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670405725918612-0.670358029113093)×R²
    abs(-0.36173184--0.36182772)×4.76968055193039e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.76968055193039e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.76968055193039e-05×40589641000000     		ar = 167703.207580204m²