Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28993 / 29503
↖ ↑ ↗
← N 69.840568°
W100.368347°		 ← 105.24 m → N 69.840568°
W100.365601°		 →
↑
105.25 m
↓
↑
105.25 m
↓
N 69.839622°
W100.368347°		 ← 105.24 m →
11 076 m²		 N 69.839622°
W100.365601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221202850341797 y=0.225093841552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221202850341797 × 217)
    floor (0.221202850341797 × 131072)
    floor (28993.5)     		tx = 28993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225093841552734 × 217)
    floor (0.225093841552734 × 131072)
    floor (29503.5)     		ty = 29503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28993 / 29503 ti = "17/28993/29503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28993/29503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28993 ÷ 217
    28993 ÷ 131072     		x = 0.221199035644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29503 ÷ 217
    29503 ÷ 131072     		y = 0.225090026855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.221199035644531 × 2 - 1) × π
    -0.557601928710938 × 3.1415926535     		Λ = -1.75175812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225090026855469 × 2 - 1) × π
    0.549819946289062 × 3.1415926535     		Φ = 1.72731030400948
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75175812} λ = -1.75175812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72731030400948))-π/2
    2×atan(5.62550264950139)-π/2
    2×1.39487209951457-π/2
    2.78974419902914-1.57079632675     		φ = 1.21894787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75175812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.368347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21894787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.840568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28993 KachelY 29503 -1.75175812 1.21894787 -100.368347 69.840568
    Oben rechts KachelX + 1 28994 KachelY 29503 -1.75171019 1.21894787 -100.365601 69.840568
    Unten links KachelX 28993 KachelY + 1 29504 -1.75175812 1.21893135 -100.368347 69.839622
    Unten rechts KachelX + 1 28994 KachelY + 1 29504 -1.75171019 1.21893135 -100.365601 69.839622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21894787-1.21893135) × R
    1.65199999999643e-05 × 6371000     		dl = 105.248919999773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21894787-1.21893135) × R
    1.65199999999643e-05 × 6371000     		dr = 105.248919999773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75175812--1.75171019) × cos(1.21894787) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.344633610535475 × 6371000     		do = 105.238018919407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75175812--1.75171019) × cos(1.21893135) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.344649118428257 × 6371000     		du = 105.242754441027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21894787)-sin(1.21893135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344633610535475-0.344649118428257)×R²
    abs(-1.75171019--1.75175812)×1.55078927817076e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.55078927817076e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.55078927817076e-05×40589641000000     		ar = 11076.4370385817m²