Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28993 / 22268
↖ ↑ ↗
← N 49.852152°
W 20.736694°		 ← 393.81 m → N 49.852152°
W 20.731201°		 →
↑
393.86 m
↓
↑
393.86 m
↓
N 49.848610°
W 20.736694°		 ← 393.84 m →
155 111 m²		 N 49.848610°
W 20.731201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442405700683594 y=0.339790344238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442405700683594 × 216)
    floor (0.442405700683594 × 65536)
    floor (28993.5)     		tx = 28993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339790344238281 × 216)
    floor (0.339790344238281 × 65536)
    floor (22268.5)     		ty = 22268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28993 / 22268 ti = "16/28993/22268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28993/22268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28993 ÷ 216
    28993 ÷ 65536     		x = 0.442398071289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22268 ÷ 216
    22268 ÷ 65536     		y = 0.33978271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442398071289062 × 2 - 1) × π
    -0.115203857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36192359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33978271484375 × 2 - 1) × π
    0.3204345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.00667489202118
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36192359} λ = -0.36192359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00667489202118))-π/2
    2×atan(2.73648675651958)-π/2
    2×1.22044025629126-π/2
    2.44088051258251-1.57079632675     		φ = 0.87008419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36192359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.736694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87008419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.852152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28993 KachelY 22268 -0.36192359 0.87008419 -20.736694 49.852152
    Oben rechts KachelX + 1 28994 KachelY 22268 -0.36182772 0.87008419 -20.731201 49.852152
    Unten links KachelX 28993 KachelY + 1 22269 -0.36192359 0.87002237 -20.736694 49.848610
    Unten rechts KachelX + 1 28994 KachelY + 1 22269 -0.36182772 0.87002237 -20.731201 49.848610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87008419-0.87002237) × R
    6.18199999999902e-05 × 6371000     		dl = 393.855219999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87008419-0.87002237) × R
    6.18199999999902e-05 × 6371000     		dr = 393.855219999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36192359--0.36182772) × cos(0.87008419) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.644762196101618 × 6371000     		do = 393.812863937201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36192359--0.36182772) × cos(0.87002237) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.64480944904034 × 6371000     		du = 393.841725454269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87008419)-sin(0.87002237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644762196101618-0.64480944904034)×R²
    abs(-0.36182772--0.36192359)×4.72529387224307e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72529387224307e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72529387224307e-05×40589641000000     		ar = 155110.935843949m²