Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28993 / 19137
↖ ↑ ↗
← N 77.654759°
W100.368347°		 ← 65.29 m → N 77.654759°
W100.365601°		 →
↑
65.30 m
↓
↑
65.30 m
↓
N 77.654171°
W100.368347°		 ← 65.29 m →
4 264 m²		 N 77.654171°
W100.365601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221202850341797 y=0.146007537841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221202850341797 × 217)
    floor (0.221202850341797 × 131072)
    floor (28993.5)     		tx = 28993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146007537841797 × 217)
    floor (0.146007537841797 × 131072)
    floor (19137.5)     		ty = 19137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28993 / 19137 ti = "17/28993/19137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28993/19137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28993 ÷ 217
    28993 ÷ 131072     		x = 0.221199035644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19137 ÷ 217
    19137 ÷ 131072     		y = 0.146003723144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.221199035644531 × 2 - 1) × π
    -0.557601928710938 × 3.1415926535     		Λ = -1.75175812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146003723144531 × 2 - 1) × π
    0.707992553710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.22422420547099
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75175812} λ = -1.75175812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22422420547099))-π/2
    2×atan(9.24630678649073)-π/2
    2×1.46306377383502-π/2
    2.92612754767004-1.57079632675     		φ = 1.35533122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75175812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.368347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35533122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.654759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28993 KachelY 19137 -1.75175812 1.35533122 -100.368347 77.654759
    Oben rechts KachelX + 1 28994 KachelY 19137 -1.75171019 1.35533122 -100.365601 77.654759
    Unten links KachelX 28993 KachelY + 1 19138 -1.75175812 1.35532097 -100.368347 77.654171
    Unten rechts KachelX + 1 28994 KachelY + 1 19138 -1.75171019 1.35532097 -100.365601 77.654171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35533122-1.35532097) × R
    1.02500000001005e-05 × 6371000     		dl = 65.30275000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35533122-1.35532097) × R
    1.02500000001005e-05 × 6371000     		dr = 65.30275000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75175812--1.75171019) × cos(1.35533122) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.213801803567679 × 6371000     		do = 65.2869527551277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75175812--1.75171019) × cos(1.35532097) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.213811816546305 × 6371000     		du = 65.2900103386071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35533122)-sin(1.35532097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213801803567679-0.213811816546305)×R²
    abs(-1.75171019--1.75175812)×1.00129786254621e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.00129786254621e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.00129786254621e-05×40589641000000     		ar = 4263.51738853128m²