Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28989 / 43397
↖ ↑ ↗
← S 50.306884°
W 20.758667°		 ← 390.14 m → S 50.306884°
W 20.753174°		 →
↑
390.10 m
↓
↑
390.10 m
↓
S 50.310393°
W 20.758667°		 ← 390.11 m →
152 185 m²		 S 50.310393°
W 20.753174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442344665527344 y=0.662193298339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442344665527344 × 216)
    floor (0.442344665527344 × 65536)
    floor (28989.5)     		tx = 28989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662193298339844 × 216)
    floor (0.662193298339844 × 65536)
    floor (43397.5)     		ty = 43397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28989 / 43397 ti = "16/28989/43397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28989/43397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28989 ÷ 216
    28989 ÷ 65536     		x = 0.442337036132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43397 ÷ 216
    43397 ÷ 65536     		y = 0.662185668945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442337036132812 × 2 - 1) × π
    -0.115325927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36230709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662185668945312 × 2 - 1) × π
    -0.324371337890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.01904261212315
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36230709} λ = -0.36230709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01904261212315))-π/2
    2×atan(0.360940334709141)-π/2
    2×0.346387780276657-π/2
    0.692775560553314-1.57079632675     		φ = -0.87802077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36230709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.758667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87802077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.306884°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28989 KachelY 43397 -0.36230709 -0.87802077 -20.758667 -50.306884
    Oben rechts KachelX + 1 28990 KachelY 43397 -0.36221121 -0.87802077 -20.753174 -50.306884
    Unten links KachelX 28989 KachelY + 1 43398 -0.36230709 -0.87808200 -20.758667 -50.310393
    Unten rechts KachelX + 1 28990 KachelY + 1 43398 -0.36221121 -0.87808200 -20.753174 -50.310393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87802077--0.87808200) × R
    6.12300000000232e-05 × 6371000     		dl = 390.096330000148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87802077--0.87808200) × R
    6.12300000000232e-05 × 6371000     		dr = 390.096330000148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36230709--0.36221121) × cos(-0.87802077) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.638675364741843 × 6371000     		do = 390.135791792065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36230709--0.36221121) × cos(-0.87808200) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.638628248510703 × 6371000     		du = 390.107010772541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87802077)-sin(-0.87808200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638675364741843-0.638628248510703)×R²
    abs(-0.36221121--0.36230709)×4.71162311405093e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.71162311405093e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.71162311405093e-05×40589641000000     		ar = 152184.92694251m²