Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28988 / 42247
↖ ↑ ↗
← S 46.099900°
W 20.764160°		 ← 423.52 m → S 46.099900°
W 20.758667°		 →
↑
423.54 m
↓
↑
423.54 m
↓
S 46.103709°
W 20.764160°		 ← 423.49 m →
179 374 m²		 S 46.103709°
W 20.758667°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442329406738281 y=0.644645690917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442329406738281 × 216)
    floor (0.442329406738281 × 65536)
    floor (28988.5)     		tx = 28988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644645690917969 × 216)
    floor (0.644645690917969 × 65536)
    floor (42247.5)     		ty = 42247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28988 / 42247 ti = "16/28988/42247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28988/42247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28988 ÷ 216
    28988 ÷ 65536     		x = 0.44232177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42247 ÷ 216
    42247 ÷ 65536     		y = 0.644638061523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44232177734375 × 2 - 1) × π
    -0.1153564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36240296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644638061523438 × 2 - 1) × π
    -0.289276123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.908787742997025
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36240296} λ = -0.36240296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.908787742997025))-π/2
    2×atan(0.403012482730806)-π/2
    2×0.383100644266311-π/2
    0.766201288532622-1.57079632675     		φ = -0.80459504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36240296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.764160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80459504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.099900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28988 KachelY 42247 -0.36240296 -0.80459504 -20.764160 -46.099900
    Oben rechts KachelX + 1 28989 KachelY 42247 -0.36230709 -0.80459504 -20.758667 -46.099900
    Unten links KachelX 28988 KachelY + 1 42248 -0.36240296 -0.80466152 -20.764160 -46.103709
    Unten rechts KachelX + 1 28989 KachelY + 1 42248 -0.36230709 -0.80466152 -20.758667 -46.103709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80459504--0.80466152) × R
    6.64799999999799e-05 × 6371000     		dl = 423.544079999872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80459504--0.80466152) × R
    6.64799999999799e-05 × 6371000     		dr = 423.544079999872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36240296--0.36230709) × cos(-0.80459504) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.693403085758498 × 6371000     		do = 423.522124461543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36240296--0.36230709) × cos(-0.80466152) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.693355182068798 × 6371000     		du = 423.492865473736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80459504)-sin(-0.80466152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693403085758498-0.693355182068798)×R²
    abs(-0.36230709--0.36240296)×4.79036897003127e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79036897003127e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79036897003127e-05×40589641000000     		ar = 179374.092395449m²