Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28987 / 22260
↖ ↑ ↗
← N 49.880478°
W 20.769653°		 ← 393.58 m → N 49.880478°
W 20.764160°		 →
↑
393.60 m
↓
↑
393.60 m
↓
N 49.876938°
W 20.769653°		 ← 393.61 m →
154 920 m²		 N 49.876938°
W 20.764160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442314147949219 y=0.339668273925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442314147949219 × 216)
    floor (0.442314147949219 × 65536)
    floor (28987.5)     		tx = 28987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339668273925781 × 216)
    floor (0.339668273925781 × 65536)
    floor (22260.5)     		ty = 22260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28987 / 22260 ti = "16/28987/22260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28987/22260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28987 ÷ 216
    28987 ÷ 65536     		x = 0.442306518554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22260 ÷ 216
    22260 ÷ 65536     		y = 0.33966064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442306518554688 × 2 - 1) × π
    -0.115386962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36249883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33966064453125 × 2 - 1) × π
    0.3206787109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0074418824151
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36249883} λ = -0.36249883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0074418824151))-π/2
    2×atan(2.73858642068311)-π/2
    2×1.2206874470199-π/2
    2.44137489403981-1.57079632675     		φ = 0.87057857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36249883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.769653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87057857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.880478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28987 KachelY 22260 -0.36249883 0.87057857 -20.769653 49.880478
    Oben rechts KachelX + 1 28988 KachelY 22260 -0.36240296 0.87057857 -20.764160 49.880478
    Unten links KachelX 28987 KachelY + 1 22261 -0.36249883 0.87051679 -20.769653 49.876938
    Unten rechts KachelX + 1 28988 KachelY + 1 22261 -0.36240296 0.87051679 -20.764160 49.876938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87057857-0.87051679) × R
    6.17800000000113e-05 × 6371000     		dl = 393.600380000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87057857-0.87051679) × R
    6.17800000000113e-05 × 6371000     		dr = 393.600380000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36249883--0.36240296) × cos(0.87057857) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.644384221545915 × 6371000     		do = 393.582001701207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36249883--0.36240296) × cos(0.87051679) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.644431463598693 × 6371000     		du = 393.610856569273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87057857)-sin(0.87051679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644384221545915-0.644431463598693)×R²
    abs(-0.36240296--0.36249883)×4.72420527773965e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72420527773965e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72420527773965e-05×40589641000000     		ar = 154919.704123497m²