Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28986 / 42218
↖ ↑ ↗
← S 45.989329°
W 20.775147°		 ← 424.41 m → S 45.989329°
W 20.769653°		 →
↑
424.37 m
↓
↑
424.37 m
↓
S 45.993145°
W 20.775147°		 ← 424.39 m →
180 104 m²		 S 45.993145°
W 20.769653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442298889160156 y=0.644203186035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442298889160156 × 216)
    floor (0.442298889160156 × 65536)
    floor (28986.5)     		tx = 28986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644203186035156 × 216)
    floor (0.644203186035156 × 65536)
    floor (42218.5)     		ty = 42218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28986 / 42218 ti = "16/28986/42218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28986/42218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28986 ÷ 216
    28986 ÷ 65536     		x = 0.442291259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42218 ÷ 216
    42218 ÷ 65536     		y = 0.644195556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442291259765625 × 2 - 1) × π
    -0.11541748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36259471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644195556640625 × 2 - 1) × π
    -0.28839111328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.906007402819061
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36259471} λ = -0.36259471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.906007402819061))-π/2
    2×atan(0.404134553675401)-π/2
    2×0.384065558118311-π/2
    0.768131116236623-1.57079632675     		φ = -0.80266521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36259471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.775147°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80266521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.989329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28986 KachelY 42218 -0.36259471 -0.80266521 -20.775147 -45.989329
    Oben rechts KachelX + 1 28987 KachelY 42218 -0.36249883 -0.80266521 -20.769653 -45.989329
    Unten links KachelX 28986 KachelY + 1 42219 -0.36259471 -0.80273182 -20.775147 -45.993145
    Unten rechts KachelX + 1 28987 KachelY + 1 42219 -0.36249883 -0.80273182 -20.769653 -45.993145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80266521--0.80273182) × R
    6.6609999999967e-05 × 6371000     		dl = 424.37230999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80266521--0.80273182) × R
    6.6609999999967e-05 × 6371000     		dr = 424.37230999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36259471--0.36249883) × cos(-0.80266521) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.694792332511257 × 6371000     		do = 424.414924607121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36259471--0.36249883) × cos(-0.80273182) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.694744424364485 × 6371000     		du = 424.385659844761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80266521)-sin(-0.80273182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.694792332511257-0.694744424364485)×R²
    abs(-0.36249883--0.36259471)×4.79081467724685e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.79081467724685e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.79081467724685e-05×40589641000000     		ar = 180103.73244297m²