Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28984 / 43352
↖ ↑ ↗
← S 50.148746°
W 20.786133°		 ← 391.43 m → S 50.148746°
W 20.780640°		 →
↑
391.37 m
↓
↑
391.37 m
↓
S 50.152266°
W 20.786133°		 ← 391.40 m →
153 189 m²		 S 50.152266°
W 20.780640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442268371582031 y=0.661506652832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442268371582031 × 216)
    floor (0.442268371582031 × 65536)
    floor (28984.5)     		tx = 28984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661506652832031 × 216)
    floor (0.661506652832031 × 65536)
    floor (43352.5)     		ty = 43352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28984 / 43352 ti = "16/28984/43352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28984/43352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28984 ÷ 216
    28984 ÷ 65536     		x = 0.4422607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43352 ÷ 216
    43352 ÷ 65536     		y = 0.6614990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4422607421875 × 2 - 1) × π
    -0.115478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36278646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6614990234375 × 2 - 1) × π
    -0.322998046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.01472829115735
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36278646} λ = -0.36278646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01472829115735))-π/2
    2×atan(0.362500911155791)-π/2
    2×0.34776779318713-π/2
    0.695535586374261-1.57079632675     		φ = -0.87526074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36278646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.786133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87526074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.148746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28984 KachelY 43352 -0.36278646 -0.87526074 -20.786133 -50.148746
    Oben rechts KachelX + 1 28985 KachelY 43352 -0.36269058 -0.87526074 -20.780640 -50.148746
    Unten links KachelX 28984 KachelY + 1 43353 -0.36278646 -0.87532217 -20.786133 -50.152266
    Unten rechts KachelX + 1 28985 KachelY + 1 43353 -0.36269058 -0.87532217 -20.780640 -50.152266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87526074--0.87532217) × R
    6.1430000000029e-05 × 6371000     		dl = 391.370530000184m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87526074--0.87532217) × R
    6.1430000000029e-05 × 6371000     		dr = 391.370530000184m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36278646--0.36269058) × cos(-0.87526074) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.640796707083623 × 6371000     		do = 391.431616901127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36278646--0.36269058) × cos(-0.87532217) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.640749545411831 × 6371000     		du = 391.402808124114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87526074)-sin(-0.87532217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640796707083623-0.640749545411831)×R²
    abs(-0.36269058--0.36278646)×4.71616717916401e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.71616717916401e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.71616717916401e-05×40589641000000     		ar = 153189.161960654m²