Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28983 / 43082
↖ ↑ ↗
← S 49.188884°
W 20.791626°		 ← 399.19 m → S 49.188884°
W 20.786133°		 →
↑
399.21 m
↓
↑
399.21 m
↓
S 49.192474°
W 20.791626°		 ← 399.16 m →
159 354 m²		 S 49.192474°
W 20.786133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442253112792969 y=0.657386779785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442253112792969 × 216)
    floor (0.442253112792969 × 65536)
    floor (28983.5)     		tx = 28983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657386779785156 × 216)
    floor (0.657386779785156 × 65536)
    floor (43082.5)     		ty = 43082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28983 / 43082 ti = "16/28983/43082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28983/43082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28983 ÷ 216
    28983 ÷ 65536     		x = 0.442245483398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43082 ÷ 216
    43082 ÷ 65536     		y = 0.657379150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442245483398438 × 2 - 1) × π
    -0.115509033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36288233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657379150390625 × 2 - 1) × π
    -0.31475830078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.988842365362518
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36288233} λ = -0.36288233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.988842365362518))-π/2
    2×atan(0.372007090144454)-π/2
    2×0.356144170937531-π/2
    0.712288341875062-1.57079632675     		φ = -0.85850798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36288233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.791626°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85850798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.188884°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28983 KachelY 43082 -0.36288233 -0.85850798 -20.791626 -49.188884
    Oben rechts KachelX + 1 28984 KachelY 43082 -0.36278646 -0.85850798 -20.786133 -49.188884
    Unten links KachelX 28983 KachelY + 1 43083 -0.36288233 -0.85857064 -20.791626 -49.192474
    Unten rechts KachelX + 1 28984 KachelY + 1 43083 -0.36278646 -0.85857064 -20.786133 -49.192474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85850798--0.85857064) × R
    6.26600000001032e-05 × 6371000     		dl = 399.206860000657m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85850798--0.85857064) × R
    6.26600000001032e-05 × 6371000     		dr = 399.206860000657m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36288233--0.36278646) × cos(-0.85850798) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.65356745780211 × 6371000     		do = 399.191010095511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36288233--0.36278646) × cos(-0.85857064) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.653520031153301 × 6371000     		du = 399.162042478446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85850798)-sin(-0.85857064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65356745780211-0.653520031153301)×R²
    abs(-0.36278646--0.36288233)×4.74266488089681e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74266488089681e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74266488089681e-05×40589641000000     		ar = 159354.007696996m²