Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28981 / 43357
↖ ↑ ↗
← S 50.166343°
W 20.802612°		 ← 391.29 m → S 50.166343°
W 20.797119°		 →
↑
391.24 m
↓
↑
391.24 m
↓
S 50.169862°
W 20.802612°		 ← 391.26 m →
153 083 m²		 S 50.169862°
W 20.797119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442222595214844 y=0.661582946777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442222595214844 × 216)
    floor (0.442222595214844 × 65536)
    floor (28981.5)     		tx = 28981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661582946777344 × 216)
    floor (0.661582946777344 × 65536)
    floor (43357.5)     		ty = 43357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28981 / 43357 ti = "16/28981/43357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28981/43357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28981 ÷ 216
    28981 ÷ 65536     		x = 0.442214965820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43357 ÷ 216
    43357 ÷ 65536     		y = 0.661575317382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442214965820312 × 2 - 1) × π
    -0.115570068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36307408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661575317382812 × 2 - 1) × π
    -0.323150634765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.01520766015355
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36307408} λ = -0.36307408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01520766015355))-π/2
    2×atan(0.362327181101617)-π/2
    2×0.347614232410696-π/2
    0.695228464821393-1.57079632675     		φ = -0.87556786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36307408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.802612°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87556786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.166343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28981 KachelY 43357 -0.36307408 -0.87556786 -20.802612 -50.166343
    Oben rechts KachelX + 1 28982 KachelY 43357 -0.36297820 -0.87556786 -20.797119 -50.166343
    Unten links KachelX 28981 KachelY + 1 43358 -0.36307408 -0.87562927 -20.802612 -50.169862
    Unten rechts KachelX + 1 28982 KachelY + 1 43358 -0.36297820 -0.87562927 -20.797119 -50.169862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87556786--0.87562927) × R
    6.14100000000395e-05 × 6371000     		dl = 391.243110000252m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87556786--0.87562927) × R
    6.14100000000395e-05 × 6371000     		dr = 391.243110000252m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36307408--0.36297820) × cos(-0.87556786) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.640560897584054 × 6371000     		do = 391.287572319544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36307408--0.36297820) × cos(-0.87562927) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.64051373918435 × 6371000     		du = 391.258765541291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87556786)-sin(-0.87562927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640560897584054-0.64051373918435)×R²
    abs(-0.36297820--0.36307408)×4.71583997032621e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.71583997032621e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.71583997032621e-05×40589641000000     		ar = 153082.931519807m²