Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28978 / 43090
↖ ↑ ↗
← S 49.217597°
W 20.819092°		 ← 398.96 m → S 49.217597°
W 20.813599°		 →
↑
398.95 m
↓
↑
398.95 m
↓
S 49.221185°
W 20.819092°		 ← 398.93 m →
159 160 m²		 S 49.221185°
W 20.813599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442176818847656 y=0.657508850097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442176818847656 × 216)
    floor (0.442176818847656 × 65536)
    floor (28978.5)     		tx = 28978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657508850097656 × 216)
    floor (0.657508850097656 × 65536)
    floor (43090.5)     		ty = 43090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28978 / 43090 ti = "16/28978/43090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28978/43090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28978 ÷ 216
    28978 ÷ 65536     		x = 0.442169189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43090 ÷ 216
    43090 ÷ 65536     		y = 0.657501220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442169189453125 × 2 - 1) × π
    -0.11566162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36336170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657501220703125 × 2 - 1) × π
    -0.31500244140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.989609355756439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36336170} λ = -0.36336170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.989609355756439))-π/2
    2×atan(0.371721873672972)-π/2
    2×0.355893603704011-π/2
    0.711787207408021-1.57079632675     		φ = -0.85900912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36336170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.819092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85900912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.217597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28978 KachelY 43090 -0.36336170 -0.85900912 -20.819092 -49.217597
    Oben rechts KachelX + 1 28979 KachelY 43090 -0.36326583 -0.85900912 -20.813599 -49.217597
    Unten links KachelX 28978 KachelY + 1 43091 -0.36336170 -0.85907174 -20.819092 -49.221185
    Unten rechts KachelX + 1 28979 KachelY + 1 43091 -0.36326583 -0.85907174 -20.813599 -49.221185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85900912--0.85907174) × R
    6.26200000000132e-05 × 6371000     		dl = 398.952020000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85900912--0.85907174) × R
    6.26200000000132e-05 × 6371000     		dr = 398.952020000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36336170--0.36326583) × cos(-0.85900912) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.65318807878428 × 6371000     		do = 398.959290031226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36336170--0.36326583) × cos(-0.85907174) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.653140661908682 × 6371000     		du = 398.930328383519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85900912)-sin(-0.85907174))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65318807878428-0.653140661908682)×R²
    abs(-0.36326583--0.36336170)×4.74168755976168e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74168755976168e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74168755976168e-05×40589641000000     		ar = 159159.837553816m²