Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28977 / 43088
↖ ↑ ↗
← S 49.210420°
W 20.824585°		 ← 399.02 m → S 49.210420°
W 20.819092°		 →
↑
399.02 m
↓
↑
399.02 m
↓
S 49.214009°
W 20.824585°		 ← 398.99 m →
159 208 m²		 S 49.214009°
W 20.819092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442161560058594 y=0.657478332519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442161560058594 × 216)
    floor (0.442161560058594 × 65536)
    floor (28977.5)     		tx = 28977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657478332519531 × 216)
    floor (0.657478332519531 × 65536)
    floor (43088.5)     		ty = 43088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28977 / 43088 ti = "16/28977/43088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28977/43088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28977 ÷ 216
    28977 ÷ 65536     		x = 0.442153930664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43088 ÷ 216
    43088 ÷ 65536     		y = 0.657470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442153930664062 × 2 - 1) × π
    -0.115692138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36345757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657470703125 × 2 - 1) × π
    -0.31494140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.989417608157959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36345757} λ = -0.36345757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.989417608157959))-π/2
    2×atan(0.371793157283563)-π/2
    2×0.355956231873019-π/2
    0.711912463746038-1.57079632675     		φ = -0.85888386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36345757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.824585°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85888386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.210420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28977 KachelY 43088 -0.36345757 -0.85888386 -20.824585 -49.210420
    Oben rechts KachelX + 1 28978 KachelY 43088 -0.36336170 -0.85888386 -20.819092 -49.210420
    Unten links KachelX 28977 KachelY + 1 43089 -0.36345757 -0.85894649 -20.824585 -49.214009
    Unten rechts KachelX + 1 28978 KachelY + 1 43089 -0.36336170 -0.85894649 -20.819092 -49.214009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85888386--0.85894649) × R
    6.26299999999524e-05 × 6371000     		dl = 399.015729999697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85888386--0.85894649) × R
    6.26299999999524e-05 × 6371000     		dr = 399.015729999697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36345757--0.36336170) × cos(-0.85888386) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.653282919993597 × 6371000     		do = 399.017217881969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36345757--0.36336170) × cos(-0.85894649) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.653235500670102 × 6371000     		du = 398.988254739116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85888386)-sin(-0.85894649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653282919993597-0.653235500670102)×R²
    abs(-0.36336170--0.36345757)×4.74193234951681e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74193234951681e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74193234951681e-05×40589641000000     		ar = 159208.368152888m²