Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28977 / 20284
↖ ↑ ↗
← N 76.962812°
W100.412292°		 ← 68.88 m → N 76.962812°
W100.409546°		 →
↑
68.87 m
↓
↑
68.87 m
↓
N 76.962193°
W100.412292°		 ← 68.89 m →
4 744 m²		 N 76.962193°
W100.409546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221080780029297 y=0.154758453369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221080780029297 × 217)
    floor (0.221080780029297 × 131072)
    floor (28977.5)     		tx = 28977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154758453369141 × 217)
    floor (0.154758453369141 × 131072)
    floor (20284.5)     		ty = 20284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28977 / 20284 ti = "17/28977/20284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28977/20284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28977 ÷ 217
    28977 ÷ 131072     		x = 0.221076965332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20284 ÷ 217
    20284 ÷ 131072     		y = 0.154754638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.221076965332031 × 2 - 1) × π
    -0.557846069335938 × 3.1415926535     		Λ = -1.75252511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154754638671875 × 2 - 1) × π
    0.69049072265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.16924058160678
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75252511} λ = -1.75252511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16924058160678))-π/2
    2×atan(8.75163536363064)-π/2
    2×1.45702540022465-π/2
    2.91405080044931-1.57079632675     		φ = 1.34325447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75252511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.412292°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34325447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.962812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28977 KachelY 20284 -1.75252511 1.34325447 -100.412292 76.962812
    Oben rechts KachelX + 1 28978 KachelY 20284 -1.75247718 1.34325447 -100.409546 76.962812
    Unten links KachelX 28977 KachelY + 1 20285 -1.75252511 1.34324366 -100.412292 76.962193
    Unten rechts KachelX + 1 28978 KachelY + 1 20285 -1.75247718 1.34324366 -100.409546 76.962193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34325447-1.34324366) × R
    1.08100000000277e-05 × 6371000     		dl = 68.8705100001768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34325447-1.34324366) × R
    1.08100000000277e-05 × 6371000     		dr = 68.8705100001768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75252511--1.75247718) × cos(1.34325447) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.225583425739519 × 6371000     		do = 68.884612818216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75252511--1.75247718) × cos(1.34324366) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.225593957086202 × 6371000     		du = 68.8878286916178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34325447)-sin(1.34324366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225583425739519-0.225593957086202)×R²
    abs(-1.75247718--1.75252511)×1.05313466829959e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.05313466829959e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.05313466829959e-05×40589641000000     		ar = 4744.22915553901m²