Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28975 / 43151
↖ ↑ ↗
← S 49.435985°
W 20.835571°		 ← 397.19 m → S 49.435985°
W 20.830078°		 →
↑
397.17 m
↓
↑
397.17 m
↓
S 49.439557°
W 20.835571°		 ← 397.16 m →
157 747 m²		 S 49.439557°
W 20.830078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442131042480469 y=0.658439636230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442131042480469 × 216)
    floor (0.442131042480469 × 65536)
    floor (28975.5)     		tx = 28975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658439636230469 × 216)
    floor (0.658439636230469 × 65536)
    floor (43151.5)     		ty = 43151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28975 / 43151 ti = "16/28975/43151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28975/43151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28975 ÷ 216
    28975 ÷ 65536     		x = 0.442123413085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43151 ÷ 216
    43151 ÷ 65536     		y = 0.658432006835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442123413085938 × 2 - 1) × π
    -0.115753173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36364932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658432006835938 × 2 - 1) × π
    -0.316864013671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.995457657510086
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36364932} λ = -0.36364932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.995457657510086))-π/2
    2×atan(0.369554276546464)-π/2
    2×0.353987810673875-π/2
    0.707975621347749-1.57079632675     		φ = -0.86282071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36364932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.835571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86282071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.435985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28975 KachelY 43151 -0.36364932 -0.86282071 -20.835571 -49.435985
    Oben rechts KachelX + 1 28976 KachelY 43151 -0.36355345 -0.86282071 -20.830078 -49.435985
    Unten links KachelX 28975 KachelY + 1 43152 -0.36364932 -0.86288305 -20.835571 -49.439557
    Unten rechts KachelX + 1 28976 KachelY + 1 43152 -0.36355345 -0.86288305 -20.830078 -49.439557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86282071--0.86288305) × R
    6.23399999999386e-05 × 6371000     		dl = 397.168139999609m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86282071--0.86288305) × R
    6.23399999999386e-05 × 6371000     		dr = 397.168139999609m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36364932--0.36355345) × cos(-0.86282071) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.650297221376525 × 6371000     		do = 397.193589681755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36364932--0.36355345) × cos(-0.86288305) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.650249861669064 × 6371000     		du = 397.164662951647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86282071)-sin(-0.86288305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650297221376525-0.650249861669064)×R²
    abs(-0.36355345--0.36364932)×4.73597074612808e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73597074612808e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73597074612808e-05×40589641000000     		ar = 157746.89489701m²