Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28974 / 42312
↖ ↑ ↗
← S 46.346927°
W 20.841064°		 ← 421.62 m → S 46.346927°
W 20.835571°		 →
↑
421.63 m
↓
↑
421.63 m
↓
S 46.350719°
W 20.841064°		 ← 421.59 m →
177 763 m²		 S 46.350719°
W 20.835571°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442115783691406 y=0.645637512207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442115783691406 × 216)
    floor (0.442115783691406 × 65536)
    floor (28974.5)     		tx = 28974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645637512207031 × 216)
    floor (0.645637512207031 × 65536)
    floor (42312.5)     		ty = 42312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28974 / 42312 ti = "16/28974/42312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28974/42312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28974 ÷ 216
    28974 ÷ 65536     		x = 0.442108154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42312 ÷ 216
    42312 ÷ 65536     		y = 0.6456298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442108154296875 × 2 - 1) × π
    -0.11578369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36374519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6456298828125 × 2 - 1) × π
    -0.291259765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.915019539947632
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36374519} λ = -0.36374519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.915019539947632))-π/2
    2×atan(0.400508800093379)-π/2
    2×0.380944920912633-π/2
    0.761889841825266-1.57079632675     		φ = -0.80890648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36374519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.841064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80890648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.346927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28974 KachelY 42312 -0.36374519 -0.80890648 -20.841064 -46.346927
    Oben rechts KachelX + 1 28975 KachelY 42312 -0.36364932 -0.80890648 -20.835571 -46.346927
    Unten links KachelX 28974 KachelY + 1 42313 -0.36374519 -0.80897266 -20.841064 -46.350719
    Unten rechts KachelX + 1 28975 KachelY + 1 42313 -0.36364932 -0.80897266 -20.835571 -46.350719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80890648--0.80897266) × R
    6.61800000000268e-05 × 6371000     		dl = 421.632780000171m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80890648--0.80897266) × R
    6.61800000000268e-05 × 6371000     		dr = 421.632780000171m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36374519--0.36364932) × cos(-0.80890648) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.690290043058574 × 6371000     		do = 421.620716052941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36374519--0.36364932) × cos(-0.80897266) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.690242158148813 × 6371000     		du = 421.591468535691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80890648)-sin(-0.80897266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690290043058574-0.690242158148813)×R²
    abs(-0.36364932--0.36374519)×4.78849097613754e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78849097613754e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78849097613754e-05×40589641000000     		ar = 177762.948823938m²