Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28970 / 42237
↖ ↑ ↗
← S 46.061797°
W 20.863037°		 ← 423.81 m → S 46.061797°
W 20.857544°		 →
↑
423.80 m
↓
↑
423.80 m
↓
S 46.065608°
W 20.863037°		 ← 423.79 m →
179 606 m²		 S 46.065608°
W 20.857544°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442054748535156 y=0.644493103027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442054748535156 × 216)
    floor (0.442054748535156 × 65536)
    floor (28970.5)     		tx = 28970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644493103027344 × 216)
    floor (0.644493103027344 × 65536)
    floor (42237.5)     		ty = 42237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28970 / 42237 ti = "16/28970/42237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28970/42237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28970 ÷ 216
    28970 ÷ 65536     		x = 0.442047119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42237 ÷ 216
    42237 ÷ 65536     		y = 0.644485473632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442047119140625 × 2 - 1) × π
    -0.11590576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36412869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644485473632812 × 2 - 1) × π
    -0.288970947265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.907829005004623
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36412869} λ = -0.36412869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.907829005004623))-π/2
    2×atan(0.403399051388831)-π/2
    2×0.383433155022675-π/2
    0.766866310045351-1.57079632675     		φ = -0.80393002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36412869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.863037°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80393002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.061797°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28970 KachelY 42237 -0.36412869 -0.80393002 -20.863037 -46.061797
    Oben rechts KachelX + 1 28971 KachelY 42237 -0.36403282 -0.80393002 -20.857544 -46.061797
    Unten links KachelX 28970 KachelY + 1 42238 -0.36412869 -0.80399654 -20.863037 -46.065608
    Unten rechts KachelX + 1 28971 KachelY + 1 42238 -0.36403282 -0.80399654 -20.857544 -46.065608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80393002--0.80399654) × R
    6.65199999999588e-05 × 6371000     		dl = 423.798919999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80393002--0.80399654) × R
    6.65199999999588e-05 × 6371000     		dr = 423.798919999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36412869--0.36403282) × cos(-0.80393002) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.693882112489418 × 6371000     		do = 423.814708130291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36412869--0.36403282) × cos(-0.80399654) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.693834210659576 × 6371000     		du = 423.785450278464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80393002)-sin(-0.80399654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693882112489418-0.693834210659576)×R²
    abs(-0.36403282--0.36412869)×4.79018298412681e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79018298412681e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79018298412681e-05×40589641000000     		ar = 179606.015928831m²