Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 28967 / 24285
↖ ↑ ↗
← N 74.238116°
W100.439758°		 ← 82.95 m → N 74.238116°
W100.437012°		 →
↑
82.95 m
↓
↑
82.95 m
↓
N 74.237370°
W100.439758°		 ← 82.95 m →
6 881 m²		 N 74.237370°
W100.437012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221004486083984 y=0.185283660888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221004486083984 × 217)
    floor (0.221004486083984 × 131072)
    floor (28967.5)     		tx = 28967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.185283660888672 × 217)
    floor (0.185283660888672 × 131072)
    floor (24285.5)     		ty = 24285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28967 / 24285 ti = "17/28967/24285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28967/24285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28967 ÷ 217
    28967 ÷ 131072     		x = 0.221000671386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24285 ÷ 217
    24285 ÷ 131072     		y = 0.185279846191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.221000671386719 × 2 - 1) × π
    -0.557998657226562 × 3.1415926535     		Λ = -1.75300448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.185279846191406 × 2 - 1) × π
    0.629440307617188 × 3.1415926535     		Φ = 1.97744504622694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75300448} λ = -1.75300448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.97744504622694))-π/2
    2×atan(7.22426173107215)-π/2
    2×1.43324794481956-π/2
    2.86649588963912-1.57079632675     		φ = 1.29569956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75300448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.439758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29569956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.238116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28967 KachelY 24285 -1.75300448 1.29569956 -100.439758 74.238116
    Oben rechts KachelX + 1 28968 KachelY 24285 -1.75295655 1.29569956 -100.437012 74.238116
    Unten links KachelX 28967 KachelY + 1 24286 -1.75300448 1.29568654 -100.439758 74.237370
    Unten rechts KachelX + 1 28968 KachelY + 1 24286 -1.75295655 1.29568654 -100.437012 74.237370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29569956-1.29568654) × R
    1.30200000001413e-05 × 6371000     		dl = 82.9504200008999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29569956-1.29568654) × R
    1.30200000001413e-05 × 6371000     		dr = 82.9504200008999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75300448--1.75295655) × cos(1.29569956) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.271640066486312 × 6371000     		do = 82.9485621316461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75300448--1.75295655) × cos(1.29568654) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.271652596897179 × 6371000     		du = 82.9523884433452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29569956)-sin(1.29568654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.271640066486312-0.271652596897179)×R²
    abs(-1.75295655--1.75300448)×1.25304108670177e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.25304108670177e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.25304108670177e-05×40589641000000     		ar = 6880.77676462168m²