Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 28960 / 28637
↖ ↑ ↗
← N 70.644500°
W100.458984°		 ← 101.23 m → N 70.644500°
W100.456238°		 →
↑
101.24 m
↓
↑
101.24 m
↓
N 70.643589°
W100.458984°		 ← 101.23 m →
10 248 m²		 N 70.643589°
W100.456238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220951080322266 y=0.218486785888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220951080322266 × 217)
    floor (0.220951080322266 × 131072)
    floor (28960.5)     		tx = 28960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218486785888672 × 217)
    floor (0.218486785888672 × 131072)
    floor (28637.5)     		ty = 28637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28960 / 28637 ti = "17/28960/28637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28960/28637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28960 ÷ 217
    28960 ÷ 131072     		x = 0.220947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28637 ÷ 217
    28637 ÷ 131072     		y = 0.218482971191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220947265625 × 2 - 1) × π
    -0.55810546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.75334004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218482971191406 × 2 - 1) × π
    0.563034057617188 × 3.1415926535     		Φ = 1.76882365908045
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75334004} λ = -1.75334004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76882365908045))-π/2
    2×atan(5.86395129672739)-π/2
    2×1.40188772342163-π/2
    2.80377544684326-1.57079632675     		φ = 1.23297912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75334004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.458984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23297912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.644500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28960 KachelY 28637 -1.75334004 1.23297912 -100.458984 70.644500
    Oben rechts KachelX + 1 28961 KachelY 28637 -1.75329210 1.23297912 -100.456238 70.644500
    Unten links KachelX 28960 KachelY + 1 28638 -1.75334004 1.23296323 -100.458984 70.643589
    Unten rechts KachelX + 1 28961 KachelY + 1 28638 -1.75329210 1.23296323 -100.456238 70.643589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23297912-1.23296323) × R
    1.58900000000184e-05 × 6371000     		dl = 101.235190000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23297912-1.23296323) × R
    1.58900000000184e-05 × 6371000     		dr = 101.235190000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75334004--1.75329210) × cos(1.23297912) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.331428460833265 × 6371000     		do = 101.226782907463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75334004--1.75329210) × cos(1.23296323) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.331443452694222 × 6371000     		du = 101.23136180769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23297912)-sin(1.23296323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331428460833265-0.331443452694222)×R²
    abs(-1.75329210--1.75334004)×1.49918609573807e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.49918609573807e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.49918609573807e-05×40589641000000     		ar = 10247.9443736852m²