Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28960 / 28631
↖ ↑ ↗
← N 70.649961°
W100.458984°		 ← 101.20 m → N 70.649961°
W100.456238°		 →
↑
101.17 m
↓
↑
101.17 m
↓
N 70.649051°
W100.458984°		 ← 101.20 m →
10 239 m²		 N 70.649051°
W100.456238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220951080322266 y=0.218441009521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220951080322266 × 217)
    floor (0.220951080322266 × 131072)
    floor (28960.5)     		tx = 28960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218441009521484 × 217)
    floor (0.218441009521484 × 131072)
    floor (28631.5)     		ty = 28631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28960 / 28631 ti = "17/28960/28631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28960/28631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28960 ÷ 217
    28960 ÷ 131072     		x = 0.220947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28631 ÷ 217
    28631 ÷ 131072     		y = 0.218437194824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220947265625 × 2 - 1) × π
    -0.55810546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.75334004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218437194824219 × 2 - 1) × π
    0.563125610351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.76911128047817
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75334004} λ = -1.75334004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76911128047817))-π/2
    2×atan(5.8656381371696)-π/2
    2×1.40193537991368-π/2
    2.80387075982736-1.57079632675     		φ = 1.23307443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75334004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.458984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23307443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.649961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28960 KachelY 28631 -1.75334004 1.23307443 -100.458984 70.649961
    Oben rechts KachelX + 1 28961 KachelY 28631 -1.75329210 1.23307443 -100.456238 70.649961
    Unten links KachelX 28960 KachelY + 1 28632 -1.75334004 1.23305855 -100.458984 70.649051
    Unten rechts KachelX + 1 28961 KachelY + 1 28632 -1.75329210 1.23305855 -100.456238 70.649051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23307443-1.23305855) × R
    1.58800000000792e-05 × 6371000     		dl = 101.171480000504m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23307443-1.23305855) × R
    1.58800000000792e-05 × 6371000     		dr = 101.171480000504m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75334004--1.75329210) × cos(1.23307443) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.331338536215667 × 6371000     		do = 101.199317614589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75334004--1.75329210) × cos(1.23305855) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.331353519143441 × 6371000     		du = 101.203893786392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23307443)-sin(1.23305855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331338536215667-0.331353519143441)×R²
    abs(-1.75329210--1.75334004)×1.49829277743541e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.49829277743541e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.49829277743541e-05×40589641000000     		ar = 10238.7162273117m²