Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28959 / 21279
↖ ↑ ↗
← N 76.331792°
W100.461731°		 ← 72.17 m → N 76.331792°
W100.458984°		 →
↑
72.18 m
↓
↑
72.18 m
↓
N 76.331143°
W100.461731°		 ← 72.18 m →
5 210 m²		 N 76.331143°
W100.458984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220943450927734 y=0.162349700927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220943450927734 × 217)
    floor (0.220943450927734 × 131072)
    floor (28959.5)     		tx = 28959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162349700927734 × 217)
    floor (0.162349700927734 × 131072)
    floor (21279.5)     		ty = 21279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28959 / 21279 ti = "17/28959/21279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28959/21279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28959 ÷ 217
    28959 ÷ 131072     		x = 0.220939636230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21279 ÷ 217
    21279 ÷ 131072     		y = 0.162345886230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220939636230469 × 2 - 1) × π
    -0.558120727539062 × 3.1415926535     		Λ = -1.75338798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162345886230469 × 2 - 1) × π
    0.675308227539062 × 3.1415926535     		Φ = 2.12154336648483
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75338798} λ = -1.75338798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12154336648483))-π/2
    2×atan(8.34400541347509)-π/2
    2×1.45151870616268-π/2
    2.90303741232536-1.57079632675     		φ = 1.33224109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75338798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.461731°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33224109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.331792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28959 KachelY 21279 -1.75338798 1.33224109 -100.461731 76.331792
    Oben rechts KachelX + 1 28960 KachelY 21279 -1.75334004 1.33224109 -100.458984 76.331792
    Unten links KachelX 28959 KachelY + 1 21280 -1.75338798 1.33222976 -100.461731 76.331143
    Unten rechts KachelX + 1 28960 KachelY + 1 21280 -1.75334004 1.33222976 -100.458984 76.331143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33224109-1.33222976) × R
    1.13299999999761e-05 × 6371000     		dl = 72.1834299998476m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33224109-1.33222976) × R
    1.13299999999761e-05 × 6371000     		dr = 72.1834299998476m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75338798--1.75334004) × cos(1.33224109) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.236299025466419 × 6371000     		do = 72.1718047143126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75338798--1.75334004) × cos(1.33222976) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.236310034590014 × 6371000     		du = 72.1751671840333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33224109)-sin(1.33222976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236299025466419-0.236310034590014)×R²
    abs(-1.75334004--1.75338798)×1.10091235948906e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.10091235948906e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.10091235948906e-05×40589641000000     		ar = 5209.72977086502m²