Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28957 / 24291
↖ ↑ ↗
← N 74.233639°
W100.467224°		 ← 82.99 m → N 74.233639°
W100.464477°		 →
↑
82.95 m
↓
↑
82.95 m
↓
N 74.232893°
W100.467224°		 ← 82.99 m →
6 884 m²		 N 74.232893°
W100.464477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220928192138672 y=0.185329437255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220928192138672 × 217)
    floor (0.220928192138672 × 131072)
    floor (28957.5)     		tx = 28957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.185329437255859 × 217)
    floor (0.185329437255859 × 131072)
    floor (24291.5)     		ty = 24291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28957 / 24291 ti = "17/28957/24291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28957/24291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28957 ÷ 217
    28957 ÷ 131072     		x = 0.220924377441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24291 ÷ 217
    24291 ÷ 131072     		y = 0.185325622558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220924377441406 × 2 - 1) × π
    -0.558151245117188 × 3.1415926535     		Λ = -1.75348385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.185325622558594 × 2 - 1) × π
    0.629348754882812 × 3.1415926535     		Φ = 1.97715742482922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75348385} λ = -1.75348385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.97715742482922))-π/2
    2×atan(7.2221841776043)-π/2
    2×1.43320887466501-π/2
    2.86641774933001-1.57079632675     		φ = 1.29562142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75348385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.467224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29562142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.233639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28957 KachelY 24291 -1.75348385 1.29562142 -100.467224 74.233639
    Oben rechts KachelX + 1 28958 KachelY 24291 -1.75343591 1.29562142 -100.464477 74.233639
    Unten links KachelX 28957 KachelY + 1 24292 -1.75348385 1.29560840 -100.467224 74.232893
    Unten rechts KachelX + 1 28958 KachelY + 1 24292 -1.75343591 1.29560840 -100.464477 74.232893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29562142-1.29560840) × R
    1.30199999999192e-05 × 6371000     		dl = 82.9504199994853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29562142-1.29560840) × R
    1.30199999999192e-05 × 6371000     		dr = 82.9504199994853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75348385--1.75343591) × cos(1.29562142) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.271715267508265 × 6371000     		do = 82.9888366479554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75348385--1.75343591) × cos(1.29560840) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.271727797642725 × 6371000     		du = 82.9926636735452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29562142)-sin(1.29560840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.271715267508265-0.271727797642725)×R²
    abs(-1.75343591--1.75348385)×1.25301344602313e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.25301344602313e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.25301344602313e-05×40589641000000     		ar = 6884.11758195832m²