Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28955 / 19287
↖ ↑ ↗
← N 59.291137°
W 20.945435°		 ← 311.95 m → N 59.291137°
W 20.939941°		 →
↑
311.92 m
↓
↑
311.92 m
↓
N 59.288332°
W 20.945435°		 ← 311.97 m →
97 308 m²		 N 59.288332°
W 20.939941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441825866699219 y=0.294303894042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441825866699219 × 216)
    floor (0.441825866699219 × 65536)
    floor (28955.5)     		tx = 28955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294303894042969 × 216)
    floor (0.294303894042969 × 65536)
    floor (19287.5)     		ty = 19287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28955 / 19287 ti = "16/28955/19287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28955/19287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28955 ÷ 216
    28955 ÷ 65536     		x = 0.441818237304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19287 ÷ 216
    19287 ÷ 65536     		y = 0.294296264648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441818237304688 × 2 - 1) × π
    -0.116363525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36556680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294296264648438 × 2 - 1) × π
    0.411407470703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.29247468755595
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36556680} λ = -0.36556680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29247468755595))-π/2
    2×atan(3.64178770035239)-π/2
    2×1.30281094263757-π/2
    2.60562188527514-1.57079632675     		φ = 1.03482556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36556680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.945435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03482556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.291137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28955 KachelY 19287 -0.36556680 1.03482556 -20.945435 59.291137
    Oben rechts KachelX + 1 28956 KachelY 19287 -0.36547092 1.03482556 -20.939941 59.291137
    Unten links KachelX 28955 KachelY + 1 19288 -0.36556680 1.03477660 -20.945435 59.288332
    Unten rechts KachelX + 1 28956 KachelY + 1 19288 -0.36547092 1.03477660 -20.939941 59.288332
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03482556-1.03477660) × R
    4.89599999999868e-05 × 6371000     		dl = 311.924159999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03482556-1.03477660) × R
    4.89599999999868e-05 × 6371000     		dr = 311.924159999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36556680--0.36547092) × cos(1.03482556) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.510675919283456 × 6371000     		do = 311.947141094816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36556680--0.36547092) × cos(1.03477660) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.510718013171517 × 6371000     		du = 311.972854208637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03482556)-sin(1.03477660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.510675919283456-0.510718013171517)×R²
    abs(-0.36547092--0.36556680)×4.20938880608679e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.20938880608679e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.20938880608679e-05×40589641000000     		ar = 97307.8602404786m²