Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28954 / 43333
↖ ↑ ↗
← S 50.081820°
W 20.950928°		 ← 391.94 m → S 50.081820°
W 20.945435°		 →
↑
391.94 m
↓
↑
391.94 m
↓
S 50.085345°
W 20.950928°		 ← 391.91 m →
153 612 m²		 S 50.085345°
W 20.945435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441810607910156 y=0.661216735839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441810607910156 × 216)
    floor (0.441810607910156 × 65536)
    floor (28954.5)     		tx = 28954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661216735839844 × 216)
    floor (0.661216735839844 × 65536)
    floor (43333.5)     		ty = 43333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28954 / 43333 ti = "16/28954/43333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28954/43333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28954 ÷ 216
    28954 ÷ 65536     		x = 0.441802978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43333 ÷ 216
    43333 ÷ 65536     		y = 0.661209106445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441802978515625 × 2 - 1) × π
    -0.11639404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36566267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661209106445312 × 2 - 1) × π
    -0.322418212890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.01290668897179
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36566267} λ = -0.36566267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01290668897179))-π/2
    2×atan(0.363161845404696)-π/2
    2×0.348351839683839-π/2
    0.696703679367679-1.57079632675     		φ = -0.87409265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36566267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.950928°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87409265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.081820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28954 KachelY 43333 -0.36566267 -0.87409265 -20.950928 -50.081820
    Oben rechts KachelX + 1 28955 KachelY 43333 -0.36556680 -0.87409265 -20.945435 -50.081820
    Unten links KachelX 28954 KachelY + 1 43334 -0.36566267 -0.87415417 -20.950928 -50.085345
    Unten rechts KachelX + 1 28955 KachelY + 1 43334 -0.36556680 -0.87415417 -20.945435 -50.085345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87409265--0.87415417) × R
    6.15199999999261e-05 × 6371000     		dl = 391.943919999529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87409265--0.87415417) × R
    6.15199999999261e-05 × 6371000     		dr = 391.943919999529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36566267--0.36556680) × cos(-0.87409265) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.641693024803301 × 6371000     		do = 391.938251644154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36566267--0.36556680) × cos(-0.87415417) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.64164584011275 × 6371000     		du = 391.909431812234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87409265)-sin(-0.87415417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641693024803301-0.64164584011275)×R²
    abs(-0.36556680--0.36566267)×4.71846905514273e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71846905514273e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71846905514273e-05×40589641000000     		ar = 153612.166916805m²