Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28953 / 19290
↖ ↑ ↗
← N 59.282720°
W 20.956421°		 ← 311.99 m → N 59.282720°
W 20.950928°		 →
↑
312.05 m
↓
↑
312.05 m
↓
N 59.279914°
W 20.956421°		 ← 312.02 m →
97 362 m²		 N 59.279914°
W 20.950928°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441795349121094 y=0.294349670410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441795349121094 × 216)
    floor (0.441795349121094 × 65536)
    floor (28953.5)     		tx = 28953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294349670410156 × 216)
    floor (0.294349670410156 × 65536)
    floor (19290.5)     		ty = 19290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28953 / 19290 ti = "16/28953/19290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28953/19290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28953 ÷ 216
    28953 ÷ 65536     		x = 0.441787719726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19290 ÷ 216
    19290 ÷ 65536     		y = 0.294342041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441787719726562 × 2 - 1) × π
    -0.116424560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36575854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294342041015625 × 2 - 1) × π
    0.41131591796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.29218706615823
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36575854} λ = -0.36575854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29218706615823))-π/2
    2×atan(3.64074039490476)-π/2
    2×1.30273749289551-π/2
    2.60547498579102-1.57079632675     		φ = 1.03467866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36575854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.956421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03467866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.282720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28953 KachelY 19290 -0.36575854 1.03467866 -20.956421 59.282720
    Oben rechts KachelX + 1 28954 KachelY 19290 -0.36566267 1.03467866 -20.950928 59.282720
    Unten links KachelX 28953 KachelY + 1 19291 -0.36575854 1.03462968 -20.956421 59.279914
    Unten rechts KachelX + 1 28954 KachelY + 1 19291 -0.36566267 1.03462968 -20.950928 59.279914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03467866-1.03462968) × R
    4.89799999998652e-05 × 6371000     		dl = 312.051579999141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03467866-1.03462968) × R
    4.89799999998652e-05 × 6371000     		dr = 312.051579999141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36575854--0.36566267) × cos(1.03467866) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.510802214468805 × 6371000     		do = 311.991745486456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36575854--0.36566267) × cos(1.03462968) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.510844321876829 × 6371000     		du = 312.017464176304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03467866)-sin(1.03462968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.510802214468805-0.510844321876829)×R²
    abs(-0.36566267--0.36575854)×4.2107408024461e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.2107408024461e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.2107408024461e-05×40589641000000     		ar = 97361.5299243794m²