Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28951 / 43487
↖ ↑ ↗
← S 50.621588°
W 20.967407°		 ← 387.51 m → S 50.621588°
W 20.961914°		 →
↑
387.48 m
↓
↑
387.48 m
↓
S 50.625073°
W 20.967407°		 ← 387.48 m →
150 148 m²		 S 50.625073°
W 20.961914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441764831542969 y=0.663566589355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441764831542969 × 216)
    floor (0.441764831542969 × 65536)
    floor (28951.5)     		tx = 28951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663566589355469 × 216)
    floor (0.663566589355469 × 65536)
    floor (43487.5)     		ty = 43487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28951 / 43487 ti = "16/28951/43487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28951/43487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28951 ÷ 216
    28951 ÷ 65536     		x = 0.441757202148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43487 ÷ 216
    43487 ÷ 65536     		y = 0.663558959960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441757202148438 × 2 - 1) × π
    -0.116485595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36595029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663558959960938 × 2 - 1) × π
    -0.327117919921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.02767125405476
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36595029} λ = -0.36595029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02767125405476))-π/2
    2×atan(0.357839307867536)-π/2
    2×0.343641470823964-π/2
    0.687282941647928-1.57079632675     		φ = -0.88351339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36595029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.967407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88351339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.621588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28951 KachelY 43487 -0.36595029 -0.88351339 -20.967407 -50.621588
    Oben rechts KachelX + 1 28952 KachelY 43487 -0.36585442 -0.88351339 -20.961914 -50.621588
    Unten links KachelX 28951 KachelY + 1 43488 -0.36595029 -0.88357421 -20.967407 -50.625073
    Unten rechts KachelX + 1 28952 KachelY + 1 43488 -0.36585442 -0.88357421 -20.961914 -50.625073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88351339--0.88357421) × R
    6.08200000000725e-05 × 6371000     		dl = 387.484220000462m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88351339--0.88357421) × R
    6.08200000000725e-05 × 6371000     		dr = 387.484220000462m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36595029--0.36585442) × cos(-0.88351339) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.634439311035947 × 6371000     		do = 387.507771987974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36595029--0.36585442) × cos(-0.88357421) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.634392297664295 × 6371000     		du = 387.479056795542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88351339)-sin(-0.88357421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634439311035947-0.634392297664295)×R²
    abs(-0.36585442--0.36595029)×4.70133716528043e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70133716528043e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70133716528043e-05×40589641000000     		ar = 150147.583477121m²