Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28951 / 43329
↖ ↑ ↗
← S 50.067718°
W 20.967407°		 ← 392.05 m → S 50.067718°
W 20.961914°		 →
↑
392.07 m
↓
↑
392.07 m
↓
S 50.071244°
W 20.967407°		 ← 392.02 m →
153 707 m²		 S 50.071244°
W 20.961914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441764831542969 y=0.661155700683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441764831542969 × 216)
    floor (0.441764831542969 × 65536)
    floor (28951.5)     		tx = 28951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661155700683594 × 216)
    floor (0.661155700683594 × 65536)
    floor (43329.5)     		ty = 43329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28951 / 43329 ti = "16/28951/43329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28951/43329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28951 ÷ 216
    28951 ÷ 65536     		x = 0.441757202148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43329 ÷ 216
    43329 ÷ 65536     		y = 0.661148071289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441757202148438 × 2 - 1) × π
    -0.116485595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36595029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661148071289062 × 2 - 1) × π
    -0.322296142578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.01252319377483
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36595029} λ = -0.36595029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01252319377483))-π/2
    2×atan(0.363301142936388)-π/2
    2×0.348474900876309-π/2
    0.696949801752618-1.57079632675     		φ = -0.87384652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36595029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.967407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87384652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.067718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28951 KachelY 43329 -0.36595029 -0.87384652 -20.967407 -50.067718
    Oben rechts KachelX + 1 28952 KachelY 43329 -0.36585442 -0.87384652 -20.961914 -50.067718
    Unten links KachelX 28951 KachelY + 1 43330 -0.36595029 -0.87390806 -20.967407 -50.071244
    Unten rechts KachelX + 1 28952 KachelY + 1 43330 -0.36585442 -0.87390806 -20.961914 -50.071244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87384652--0.87390806) × R
    6.15400000000266e-05 × 6371000     		dl = 392.071340000169m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87384652--0.87390806) × R
    6.15400000000266e-05 × 6371000     		dr = 392.071340000169m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36595029--0.36585442) × cos(-0.87384652) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.641881777617681 × 6371000     		do = 392.05353955473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36595029--0.36585442) × cos(-0.87390806) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.641834587307802 × 6371000     		du = 392.024716290594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87384652)-sin(-0.87390806))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641881777617681-0.641834587307802)×R²
    abs(-0.36585442--0.36595029)×4.71903098788751e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71903098788751e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71903098788751e-05×40589641000000     		ar = 153707.306265686m²