Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28947 / 43341
↖ ↑ ↗
← S 50.110011°
W 20.989380°		 ← 391.75 m → S 50.110011°
W 20.983887°		 →
↑
391.69 m
↓
↑
391.69 m
↓
S 50.113534°
W 20.989380°		 ← 391.72 m →
153 438 m²		 S 50.113534°
W 20.983887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28947 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441703796386719 y=0.661338806152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441703796386719 × 216)
    floor (0.441703796386719 × 65536)
    floor (28947.5)     		tx = 28947
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661338806152344 × 216)
    floor (0.661338806152344 × 65536)
    floor (43341.5)     		ty = 43341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28947 / 43341 ti = "16/28947/43341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28947/43341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28947 ÷ 216
    28947 ÷ 65536     		x = 0.441696166992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43341 ÷ 216
    43341 ÷ 65536     		y = 0.661331176757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441696166992188 × 2 - 1) × π
    -0.116607666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36633379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661331176757812 × 2 - 1) × π
    -0.322662353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.01367367936571
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36633379} λ = -0.36633379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01367367936571))-π/2
    2×atan(0.362883410549911)-π/2
    2×0.348105825866252-π/2
    0.696211651732505-1.57079632675     		φ = -0.87458468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36633379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.989380°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87458468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.110011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28947 KachelY 43341 -0.36633379 -0.87458468 -20.989380 -50.110011
    Oben rechts KachelX + 1 28948 KachelY 43341 -0.36623791 -0.87458468 -20.983887 -50.110011
    Unten links KachelX 28947 KachelY + 1 43342 -0.36633379 -0.87464616 -20.989380 -50.113534
    Unten rechts KachelX + 1 28948 KachelY + 1 43342 -0.36623791 -0.87464616 -20.983887 -50.113534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87458468--0.87464616) × R
    6.14799999999471e-05 × 6371000     		dl = 391.689079999663m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87458468--0.87464616) × R
    6.14799999999471e-05 × 6371000     		dr = 391.689079999663m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36633379--0.36623791) × cos(-0.87458468) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.641315579038511 × 6371000     		do = 391.748570602701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36633379--0.36623791) × cos(-0.87464616) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.641268405623206 × 6371000     		du = 391.719754652146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87458468)-sin(-0.87464616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641315579038511-0.641268405623206)×R²
    abs(-0.36623791--0.36633379)×4.7173415304913e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.7173415304913e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.7173415304913e-05×40589641000000     		ar = 153437.993812232m²