Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28946 / 43484
↖ ↑ ↗
← S 50.611132°
W 20.994873°		 ← 387.59 m → S 50.611132°
W 20.989380°		 →
↑
387.55 m
↓
↑
387.55 m
↓
S 50.614617°
W 20.994873°		 ← 387.57 m →
150 206 m²		 S 50.614617°
W 20.989380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441688537597656 y=0.663520812988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441688537597656 × 216)
    floor (0.441688537597656 × 65536)
    floor (28946.5)     		tx = 28946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663520812988281 × 216)
    floor (0.663520812988281 × 65536)
    floor (43484.5)     		ty = 43484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28946 / 43484 ti = "16/28946/43484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28946/43484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28946 ÷ 216
    28946 ÷ 65536     		x = 0.441680908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43484 ÷ 216
    43484 ÷ 65536     		y = 0.66351318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441680908203125 × 2 - 1) × π
    -0.11663818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36642966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66351318359375 × 2 - 1) × π
    -0.3270263671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.02738363265704
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36642966} λ = -0.36642966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02738363265704))-π/2
    2×atan(0.357942244912163)-π/2
    2×0.343732720127757-π/2
    0.687465440255515-1.57079632675     		φ = -0.88333089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36642966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.994873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88333089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.611132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28946 KachelY 43484 -0.36642966 -0.88333089 -20.994873 -50.611132
    Oben rechts KachelX + 1 28947 KachelY 43484 -0.36633379 -0.88333089 -20.989380 -50.611132
    Unten links KachelX 28946 KachelY + 1 43485 -0.36642966 -0.88339172 -20.994873 -50.614617
    Unten rechts KachelX + 1 28947 KachelY + 1 43485 -0.36633379 -0.88339172 -20.989380 -50.614617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88333089--0.88339172) × R
    6.08300000000117e-05 × 6371000     		dl = 387.547930000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88333089--0.88339172) × R
    6.08300000000117e-05 × 6371000     		dr = 387.547930000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36642966--0.36633379) × cos(-0.88333089) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.634580367983464 × 6371000     		do = 387.593927846391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36642966--0.36633379) × cos(-0.88339172) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.634533353925433 × 6371000     		du = 387.565212234727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88333089)-sin(-0.88339172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634580367983464-0.634533353925433)×R²
    abs(-0.36633379--0.36642966)×4.70140580313139e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70140580313139e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70140580313139e-05×40589641000000     		ar = 150205.660125564m²